16x2=4y2+4 s'écrit également
16x2−4y2=4(4x)2−(2y)2=4 (4x−2y)(4x+2y)=4Comme
x et
y sont des entiers alors
4x−2y et
4x+2y sont également des entiers.
4x−2y et
4x+2y sont alors une décomposition de
4 qui n’a que
3 diviseurs positifs
1 ,
2 et
4. Il y a aura donc
3 cas à traiter en tout.
Premier cas :{4x−2y4x+2y==14 équivaut successivement à :
{4x1+2y+2y==1+2y4 {4x1+4y==1+2y4 {4x4y==1+2y4−1 {4x4y==1+2y3 {4xy==1+2y43 Impossible car
y=43 n'est pas un entier naturel .
Deuxieˋme cas :{4x−2y4x+2y==41 équivaut successivement à :
{4x4+2y+2y==4+2y1{4x4+4y==4+2y1 {4x4y==4+2y1−4 {4x4y==4+2y−3 {4xy==4+2y−43 Impossible car
y=−43 n'est pas un entier naturel .
Troisieˋme cas :{4x−2y4x+2y==22 équivaut successivement à :
{4x4x+2y==2+2y2 {4x2+2y+2y==2+2y2 {4x2+4y==2+2y2 {4x4y==2+2y2−2 {4x4y==2+2y0 {4xy==2+2y40 {4xy==2+2y0 {4xy==2+2×00 {4xy==20 {xy==420 {xy==210 Impossible car
x=21 n'est pas un entier naturel .
Finalement, il n'existe pas de couples d’entiers naturels
(x;y) vérifiant :
16x2=4y2+4.