Divisibilité et équations - Exercice 1

Nous savons que $$1\times 13=13$$ et que $$13\times 1=13$$
Comme $$x$$ et $$y$$ sont des entiers alors $$x-1$$ et $$y+2$$ sont également des entiers.
$$x-1$$ et $$y+2$$ sont alors une décomposition de $$13$$ qui n’a que $$2$$ diviseurs positifs $$1$$ et $$13$$. On a donc les systèmes suivants :
$$\text{\blue{D'une part :}}$$
$$\left\{\begin{array}{ccc} {x-1} & {=} & {1} \\ {y+2} & {=} & {13} \end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {1+1} \\ {y} & {=} & {13-2} \end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {2} \\ {y} & {=} & {11} \end{array}\right.$$
$$\text{\blue{D'autre part :}}$$
$$\left\{\begin{array}{ccc} {x-1} & {=} & {13} \\ {y+2} & {=} & {1} \end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {13+1} \\ {y} & {=} & {1-2} \end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {14} \\ {y} & {=} & {-1} \end{array}\right.$$ Impossible car $$y=-1$$ n'est pas un entier naturel .
Le seul couple d'entiers naturels solution vérifiant : $$\left(x-1\right)\left(y+2\right)=13$$ est le couple $$\left(2;11\right)$$ .

$$2x^{2} -3xy=19$$ peut également s'écrire : $$x\left(2x-3y\right)=19$$
Comme $$x$$ et $$y$$ sont des entiers alors $$2x-3y$$ est également un entier.
$$x$$ et $$2x-3y$$ sont alors une décomposition de $$19$$ qui n’a que $$2$$ diviseurs positifs $$1$$ et $$19$$. On a donc les systèmes suivants :
$$\text{\blue{D'une part :}}$$
$$\left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {1} \\ {2x-3y} & {=} & {19} \end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {1} \\ {2-3y} & {=} & {19} \end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {1} \\ {-3y} & {=} & {17} \end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {1} \\ {y} & {=} & {\frac{17}{-3} } \end{array}\right.$$
Impossible car $$y=-\frac{17}{3}$$ n'est pas un entier naturel .
$$\text{\blue{D'autre part :}}$$
$$\left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {19} \\ {2x-3y} & {=} & {1} \end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {19} \\ {2\times 19-3y} & {=} & {1} \end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {19} \\ {38-3y} & {=} & {1} \end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {19} \\ {-3y} & {=} & {-37} \end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {19} \\ {y} & {=} & {\frac{-37}{-3} } \end{array}\right.$$
Impossible car $$y=\frac{37}{3}$$ n'est pas un entier naturel .
Finalement, il n'existe pas de couples d’entiers naturels $$\left(x;y\right)$$ vérifiant : $$2x^{2} -3xy=19$$

$$x^{2} -y^{2}=31$$ s'écrit de manière équivalente sous la forme : $$\left(x-y\right)\left(x+y\right)=31$$
Comme $$x$$ et $$y$$ sont des entiers alors $$x-y$$ et $$x+y$$ sont également des entiers.
$$x-y$$ et $$x+y$$ sont alors une décomposition de $$31$$ qui n’a que $$2$$ diviseurs positifs $$1$$ et $$31$$. On a donc les systèmes suivants :
$$\text{\blue{D'une part :}}$$
$$\left\{\begin{array}{ccc} {x-y} & {=} & {1} \\ {x+y} & {=} & {31} \end{array}\right.$$ équivaut successivement à :
$$\left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {1+y} \\ {x+y} & {=} & {31} \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {1+y} \\ {1+y+y} & {=} & {31} \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {1+y} \\ {2y} & {=} & {30} \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {1+y} \\ {y} & {=} & {15} \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {16} \\ {y} & {=} & {15} \end{array}\right.$$
Le couple $$\left(16;15\right)$$ vérifie $$x^{2} -y^{2}=31$$
$$\text{\blue{D'autre part :}}$$
$$\left\{\begin{array}{ccc} {x-y} & {=} & {31} \\ {x+y} & {=} & {1} \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {31+y} \\ {x+y} & {=} & {1} \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {31+y} \\ {31+y+y} & {=} & {1} \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {31+y} \\ {2y} & {=} & {-30} \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {31+y} \\ {y} & {=} & {\red{-15}} \end{array}\right.$$
Impossible car $$y=\red{-15}$$ n'est pas un entier naturel .
Le seul couple d'entiers naturels solution vérifiant : $$x^{2} -y^{2}=31$$ est le couple $$\left(16;15\right)$$ .