Divisibilité dans $\mathbb{Z}$ et congruences

Congruences - Exercice 5

5 min
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Question 1

Déterminer le reste de la division euclidienne de 342834^{28} par 55 .

Correction
  • Soit p\red{p} un entier naturel non nul . Si x≡y[m]x\equiv y\left[m\right] alors xp≡yp[m]x^{\red{p}} \equiv y^{\red{p}} \left[m\right]
    • 34≡4[5]34\equiv 4 \left[5\right]
    342≡42[5]34\red{^{2}}\equiv 4\red{^{2}} \left[5\right]
    342≡16[5]34\red{^{2}}\equiv16 \left[5\right]
    Ainsi :
    342≡1[5]34\red{^{2}}\equiv 1 \left[5\right] car 16=5×3+116=5\times3+1
    Nous savons que 3428=(342)1434^{28}=\left(34^{2} \right)^{14}
    (342)14≡114[5]\left(34^{2} \right)^{14} \equiv 1^{14} \left[5\right]
    Enfin :
    3428≡1[5]34^{28}\equiv 1 \left[5\right]

    Le reste de la division euclidienne de 342834^{28} par 55 est 11 .