Divisibilité dans $\mathbb{Z}$ et congruences

Congruences - Exercice 4

5 min
10
Question 1

Déterminer les valeurs de nn pour lesquelles A=n2+3n+2A=n^{2}+3n+2 est divisible par 55 .

Correction
Dans un premier temps, il nous faut déterminer les restes de la division euclidienne de nn par 55 .
Soit aa un entier relatif et bb un entier naturel non nul.
  • On appelle division euclidienne de a\red{a} par b\blue{b}, l’opération qui au couple (a;b)\left(\red{a};\blue{b}\right) associe le couple (q;r)\left(\purple{q};\pink{r}\right) tel que : a=b×q+r\red{a} = \blue{b}\times\purple{q} + \pink{r} avec 0≤r<b0\le \pink{r} < \blue{b}
  • a\red{a} s’appelle le dividende, b\blue{b} le diviseur, q\purple{q} le quotient et r\pink{r} le reste.
    • Nous avons : n=5×q+r\red{n} = \blue{5}\times\purple{q} + \pink{r} avec 0≤r<50\le \pink{r} < \blue{5}
    Les restes possibles dans la division euclidienne de nn par 55 sont : 0;1;2;3;40;1;2;3;4
    Maintenant, en utilisant un tableau des congruences modulo 55, nous allons déterminer les valeurs de nn pour lesquelles A=n2+3n+2A=n^{2}+3n+2 est divisible par 55 .
    A=n2+3n+2A=n^{2}+3n+2 est divisible par 55 si l'on peut écrire : n2+3n+2≡0[5]n^{2}+3n+2\equiv \red{0} \left[5\right] .
    D'après le tableau des congruences modulo 55 cela est vrai si n≡3[5]n\equiv 3 \left[5\right] ou\purple{\text{ou}} n≡4[5]n\equiv 4 \left[5\right] .
    On peut alors conclure que A=n2+3n+2A=n^{2}+3n+2 est divisible par 55 pour n=3+5kn=3+5k ou\purple{\text{ou}} n=4+5kn=4+5k (k∈Z)\left(k \in \mathbb{Z} \right)