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Congruences - Exercice 3

7 min
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Question 1
Soit nn un entier naturel. On considère le nombre A=n2+2n+1A=n^{2}+2n+1 .

Quels sont les restes de la division euclidienne de nn par 44 .

Correction
Soit aa un entier relatif et bb un entier naturel non nul.
  • On appelle division euclidienne de a\red{a} par b\blue{b}, l’opération qui au couple (a;b)\left(\red{a};\blue{b}\right) associe le couple (q;r)\left(\purple{q};\pink{r}\right) tel que : a=b×q+r\red{a} = \blue{b}\times\purple{q} + \pink{r} avec 0≤r<b0\le \pink{r} < \blue{b}
  • a\red{a} s’appelle le dividende, b\blue{b} le diviseur, q\purple{q} le quotient et r\pink{r} le reste.
    • Nous avons : n=4×q+r\red{n} = \blue{4}\times\purple{q} + \pink{r} avec 0≤r<40\le \pink{r} < \blue{4}
    Les restes possibles dans la division euclidienne de nn par 44 sont : 0;1;2;30;1;2;3
    Question 2

    En utilisant un tableau des congruences modulo 44, déterminer les valeurs de nn pour lesquelles A=n2+2n+1A=n^{2}+2n+1 est divisible par 44

    Correction
    A=n2+2n+1A=n^{2}+2n+1 est divisible par 44 si l'on peut écrire : n2+2n+1≡0[4]n^{2}+2n+1\equiv \red{0} \left[4\right] .
    D'après le tableau des congruences modulo 44 cela est vrai si n≡1[4]n\equiv 1 \left[4\right] ou\purple{\text{ou}} n≡3[4]n\equiv 3 \left[4\right] .
    On peut alors conclure que A=n2+2n+1A=n^{2}+2n+1 est divisible par 44 pour n=1+4kn=1+4k ou\purple{\text{ou}} n=3+4kn=3+4k (k∈Z)\left(k \in \mathbb{Z} \right)

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