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Divisibilité dans $\mathbb{Z}$ et congruences
Congruences - Exercice 2
12 min
25
Question 1
Soient deux entiers
x
x
x
et
y
y
y
tels que
x
≡
5
[
9
]
x\equiv 5 \left[9\right]
x
≡
5
[
9
]
et
y
≡
8
[
9
]
y\equiv 8 \left[9\right]
y
≡
8
[
9
]
. Donner le reste de la division euclidienne par
9
9
9
de :
2
x
2x
2
x
Correction
La congruence est compatible
avec le produit
\red{\text{avec le produit}}
avec le produit
:
Soient
m
m
m
un entier naturel
(
m
>
2
)
\left(m > 2\right)
(
m
>
2
)
,
a
a
a
,
b
b
b
,
c
c
c
et
d
d
d
des entiers relatifs vérifiant :
a
≡
b
[
m
]
\red{a} \equiv \red{b}\left[m\right]
a
≡
b
[
m
]
et
c
≡
d
[
m
]
\blue{c} \equiv \blue{d}\left[m\right]
c
≡
d
[
m
]
.
Alors :
a
×
c
≡
b
×
d
[
m
]
\red{a}\times\blue{c} \equiv \red{b}\times\blue{d}\left[m\right]
a
×
c
≡
b
×
d
[
m
]
Nous avons :
2
≡
2
[
9
]
\red{2}\equiv \red{2} \left[9\right]
2
≡
2
[
9
]
et
x
≡
5
[
9
]
\blue{x}\equiv \blue{5} \left[9\right]
x
≡
5
[
9
]
Ainsi :
2
×
x
≡
2
×
5
[
9
]
\red{2}\times\blue{x} \equiv \red{2}\times\blue{5}\left[9\right]
2
×
x
≡
2
×
5
[
9
]
2
x
≡
10
[
9
]
2x \equiv 10\left[9\right]
2
x
≡
10
[
9
]
Ainsi :
2
x
≡
1
[
9
]
2x \equiv 1\left[9\right]
2
x
≡
1
[
9
]
car
10
=
9
×
1
+
1
10=9\times 1+1
10
=
9
×
1
+
1
Question 2
x
+
y
x+y
x
+
y
Correction
La congruence est compatible
avec l’addition
\red{\text{avec l'addition}}
avec l’addition
:
Soient
m
m
m
un entier naturel
(
m
>
2
)
\left(m > 2\right)
(
m
>
2
)
,
a
a
a
,
b
b
b
,
c
c
c
et
d
d
d
des entiers relatifs vérifiant :
a
≡
b
[
m
]
\red{a} \equiv \red{b}\left[m\right]
a
≡
b
[
m
]
et
c
≡
d
[
m
]
\blue{c} \equiv \blue{d}\left[m\right]
c
≡
d
[
m
]
.
Alors :
a
+
c
≡
b
+
d
[
m
]
\red{a}+\blue{c} \equiv \red{b}+\blue{d}\left[m\right]
a
+
c
≡
b
+
d
[
m
]
Nous avons :
x
≡
5
[
9
]
\red{x}\equiv \red{5} \left[9\right]
x
≡
5
[
9
]
et
y
≡
8
[
9
]
\blue{y}\equiv \blue{8} \left[9\right]
y
≡
8
[
9
]
Ainsi :
x
+
y
≡
5
+
8
[
9
]
\red{x}+\blue{y} \equiv \red{5}+\blue{8}\left[9\right]
x
+
y
≡
5
+
8
[
9
]
x
+
y
≡
13
[
9
]
x+y \equiv 13\left[9\right]
x
+
y
≡
13
[
9
]
Ainsi :
x
+
y
≡
4
[
9
]
x+y \equiv 4\left[9\right]
x
+
y
≡
4
[
9
]
car
13
=
9
×
1
+
4
13=9\times 1+4
13
=
9
×
1
+
4
Question 3
x
y
xy
x
y
Correction
La congruence est compatible
avec le produit
\red{\text{avec le produit}}
avec le produit
:
Soient
m
m
m
un entier naturel
(
m
>
2
)
\left(m > 2\right)
(
m
>
2
)
,
a
a
a
,
b
b
b
,
c
c
c
et
d
d
d
des entiers relatifs vérifiant :
a
≡
b
[
m
]
\red{a} \equiv \red{b}\left[m\right]
a
≡
b
[
m
]
et
c
≡
d
[
m
]
\blue{c} \equiv \blue{d}\left[m\right]
c
≡
d
[
m
]
.
Alors :
a
×
c
≡
b
×
d
[
m
]
\red{a}\times\blue{c} \equiv \red{b}\times\blue{d}\left[m\right]
a
×
c
≡
b
×
d
[
m
]
Nous avons :
x
≡
5
[
9
]
\red{x}\equiv \red{5} \left[9\right]
x
≡
5
[
9
]
et
y
≡
8
[
9
]
\blue{y}\equiv \blue{8} \left[9\right]
y
≡
8
[
9
]
Ainsi :
x
×
y
≡
5
×
8
[
9
]
\red{x}\times\blue{y} \equiv \red{5}\times\blue{8}\left[9\right]
x
×
y
≡
5
×
8
[
9
]
x
×
y
≡
40
[
9
]
x\times y \equiv 40\left[9\right]
x
×
y
≡
40
[
9
]
Ainsi :
x
×
y
≡
4
[
9
]
x\times y \equiv 4\left[9\right]
x
×
y
≡
4
[
9
]
car
40
=
9
×
4
+
4
40=9\times 4+4
40
=
9
×
4
+
4
Question 4
y
2
y^{2}
y
2
Correction
Soient
m
m
m
un entier naturel
(
m
>
2
)
\left(m > 2\right)
(
m
>
2
)
,
a
a
a
et
b
b
b
des entiers relatifs vérifiant :
a
≡
b
[
m
]
\red{a} \equiv \red{b}\left[m\right]
a
≡
b
[
m
]
.
Pour tout
k
∈
N
\blue{k}\in \mathbb{N}
k
∈
N
on a :
a
k
≡
b
k
[
m
]
\red{a}^{\blue{k}} \equiv \red{b}^{\blue{k}}\left[m\right]
a
k
≡
b
k
[
m
]
Nous avons :
y
≡
8
[
9
]
\red{y}\equiv \red{8} \left[9\right]
y
≡
8
[
9
]
Ainsi :
y
2
≡
8
2
[
9
]
\red{y}^{\blue{2}} \equiv \red{8}^{\blue{2}}\left[9\right]
y
2
≡
8
2
[
9
]
y
2
≡
64
[
9
]
y^{2} \equiv 64\left[9\right]
y
2
≡
64
[
9
]
Ainsi :
y
2
≡
1
[
9
]
y^{2} \equiv 1\left[9\right]
y
2
≡
1
[
9
]
car
64
=
9
×
7
+
1
64=9\times 7+1
64
=
9
×
7
+
1
Question 5
x
2
−
y
x^{2}-y
x
2
−
y
Correction
Soient
m
m
m
un entier naturel
(
m
>
2
)
\left(m > 2\right)
(
m
>
2
)
,
a
a
a
et
b
b
b
des entiers relatifs vérifiant :
a
≡
b
[
m
]
\red{a} \equiv \red{b}\left[m\right]
a
≡
b
[
m
]
.
Pour tout
k
∈
N
\blue{k}\in \mathbb{N}
k
∈
N
on a :
a
k
≡
b
k
[
m
]
\red{a}^{\blue{k}} \equiv \red{b}^{\blue{k}}\left[m\right]
a
k
≡
b
k
[
m
]
Nous avons :
x
≡
5
[
9
]
\red{x}\equiv \red{5} \left[9\right]
x
≡
5
[
9
]
et
y
≡
8
[
9
]
\blue{y}\equiv \blue{8} \left[9\right]
y
≡
8
[
9
]
Ainsi :
x
2
≡
5
2
[
9
]
\red{x}^{\blue{2}} \equiv \red{5}^{\blue{2}}\left[9\right]
x
2
≡
5
2
[
9
]
x
2
≡
25
[
9
]
x^{2} \equiv 25\left[9\right]
x
2
≡
25
[
9
]
Ainsi :
x
2
≡
7
[
9
]
x^{2} \equiv 7\left[9\right]
x
2
≡
7
[
9
]
car
25
=
9
×
2
+
7
25=9\times 2+7
25
=
9
×
2
+
7
Finalement :
x
2
−
y
≡
(
7
−
8
)
[
9
]
x^{2} -y\equiv \left(7-8\right)\left[9\right]
x
2
−
y
≡
(
7
−
8
)
[
9
]
x
2
−
y
≡
(
−
1
)
[
9
]
x^{2} -y\equiv \left(-1\right)\left[9\right]
x
2
−
y
≡
(
−
1
)
[
9
]
que l'on peut aussi écrire
x
2
−
y
≡
8
[
9
]
x^{2} -y\equiv 8\left[9\right]
x
2
−
y
≡
8
[
9
]
Question 6
Soient deux entiers
x
x
x
et
y
y
y
tels que
x
≡
5
[
9
]
x\equiv 5 \left[9\right]
x
≡
5
[
9
]
et
y
≡
8
[
9
]
y\equiv 8 \left[9\right]
y
≡
8
[
9
]
. Donner le reste de la division euclidienne par
9
9
9
de :
2
x
+
10
2x+10
2
x
+
10
Correction
Soient
m
m
m
un entier naturel
(
m
>
2
)
\left(m > 2\right)
(
m
>
2
)
,
a
a
a
,
b
b
b
,
c
c
c
et
d
d
d
des entiers relatifs vérifiant :
a
≡
b
[
m
]
\red{a} \equiv \red{b}\left[m\right]
a
≡
b
[
m
]
et
c
≡
d
[
m
]
\blue{c} \equiv \blue{d}\left[m\right]
c
≡
d
[
m
]
.
a
+
c
≡
b
+
d
[
m
]
\red{a}+\blue{c} \equiv \red{b}+\blue{d}\left[m\right]
a
+
c
≡
b
+
d
[
m
]
a
×
c
≡
b
×
d
[
m
]
\red{a}\times\blue{c} \equiv \red{b}\times\blue{d}\left[m\right]
a
×
c
≡
b
×
d
[
m
]
Nous avons :
x
≡
5
[
9
]
\red{x}\equiv \red{5} \left[9\right]
x
≡
5
[
9
]
et
y
≡
8
[
9
]
\blue{y}\equiv \blue{8} \left[9\right]
y
≡
8
[
9
]
Ainsi :
2
x
≡
(
2
×
5
)
[
9
]
2\red{x} \equiv \left(2\times\red{5}\right)\left[9\right]
2
x
≡
(
2
×
5
)
[
9
]
2
x
≡
10
[
9
]
2x \equiv 10\left[9\right]
2
x
≡
10
[
9
]
2
x
+
10
≡
(
10
+
10
)
[
9
]
2x +10\equiv \left(10+10\right)\left[9\right]
2
x
+
10
≡
(
10
+
10
)
[
9
]
2
x
+
10
≡
20
[
9
]
2x +10\equiv 20\left[9\right]
2
x
+
10
≡
20
[
9
]
Ainsi :
2
x
+
10
≡
2
[
9
]
2x+10 \equiv 2\left[9\right]
2
x
+
10
≡
2
[
9
]
car
20
=
9
×
2
+
2
20=9\times 2+2
20
=
9
×
2
+
2
Question 7
3
x
+
2
y
3x+2y
3
x
+
2
y
Correction
Soient
m
m
m
un entier naturel
(
m
>
2
)
\left(m > 2\right)
(
m
>
2
)
,
a
a
a
,
b
b
b
,
c
c
c
et
d
d
d
des entiers relatifs vérifiant :
a
≡
b
[
m
]
\red{a} \equiv \red{b}\left[m\right]
a
≡
b
[
m
]
et
c
≡
d
[
m
]
\blue{c} \equiv \blue{d}\left[m\right]
c
≡
d
[
m
]
.
a
+
c
≡
b
+
d
[
m
]
\red{a}+\blue{c} \equiv \red{b}+\blue{d}\left[m\right]
a
+
c
≡
b
+
d
[
m
]
a
×
c
≡
b
×
d
[
m
]
\red{a}\times\blue{c} \equiv \red{b}\times\blue{d}\left[m\right]
a
×
c
≡
b
×
d
[
m
]
Nous avons :
x
≡
5
[
9
]
\red{x}\equiv \red{5} \left[9\right]
x
≡
5
[
9
]
et
y
≡
8
[
9
]
\blue{y}\equiv \blue{8} \left[9\right]
y
≡
8
[
9
]
D’une part :
\blue{\text{D'une part :}}
D’une part :
3
x
≡
(
3
×
5
)
[
9
]
3\red{x} \equiv \left(3\times\red{5}\right)\left[9\right]
3
x
≡
(
3
×
5
)
[
9
]
3
x
≡
15
[
9
]
3x \equiv 15\left[9\right]
3
x
≡
15
[
9
]
Ainsi :
3
x
≡
6
[
9
]
3x \equiv 6\left[9\right]
3
x
≡
6
[
9
]
car
15
=
9
×
1
+
6
15=9\times 1+6
15
=
9
×
1
+
6
D’autre part :
\blue{\text{D'autre part :}}
D’autre part :
2
y
≡
(
2
×
8
)
[
9
]
2\blue{y} \equiv \left(2\times\blue{8}\right)\left[9\right]
2
y
≡
(
2
×
8
)
[
9
]
2
y
≡
16
[
9
]
2y \equiv 16\left[9\right]
2
y
≡
16
[
9
]
Ainsi :
2
y
≡
7
[
9
]
2y \equiv 7\left[9\right]
2
y
≡
7
[
9
]
car
16
=
9
×
1
+
7
16=9\times 1+7
16
=
9
×
1
+
7
Enfin :
\blue{\text{Enfin :}}
Enfin :
3
x
+
2
y
≡
(
6
+
7
)
[
9
]
3x+2y \equiv \left(6+7\right)\left[9\right]
3
x
+
2
y
≡
(
6
+
7
)
[
9
]
3
x
+
2
y
≡
13
[
9
]
3x+2y \equiv 13\left[9\right]
3
x
+
2
y
≡
13
[
9
]
Ainsi :
3
x
+
2
y
≡
4
[
9
]
3x+2y \equiv 4\left[9\right]
3
x
+
2
y
≡
4
[
9
]
car
13
=
9
×
1
+
4
13=9\times 1+4
13
=
9
×
1
+
4
Question 8
y
2
−
1
y^{2}-1
y
2
−
1
Correction
Soient
m
m
m
un entier naturel
(
m
>
2
)
\left(m > 2\right)
(
m
>
2
)
,
a
a
a
,
b
b
b
,
c
c
c
et
d
d
d
des entiers relatifs vérifiant :
a
≡
b
[
m
]
\red{a} \equiv \red{b}\left[m\right]
a
≡
b
[
m
]
et
c
≡
d
[
m
]
\blue{c} \equiv \blue{d}\left[m\right]
c
≡
d
[
m
]
.
a
+
c
≡
b
+
d
[
m
]
\red{a}+\blue{c} \equiv \red{b}+\blue{d}\left[m\right]
a
+
c
≡
b
+
d
[
m
]
Pour tout
k
∈
N
\blue{k}\in \mathbb{N}
k
∈
N
on a :
a
k
≡
b
k
[
m
]
\red{a}^{\blue{k}} \equiv \red{b}^{\blue{k}}\left[m\right]
a
k
≡
b
k
[
m
]
Nous avons :
y
≡
8
[
9
]
\red{y}\equiv \red{8} \left[9\right]
y
≡
8
[
9
]
Ainsi :
y
2
≡
8
2
[
9
]
\red{y}^{\blue{2}} \equiv \red{8}^{\blue{2}}\left[9\right]
y
2
≡
8
2
[
9
]
y
2
≡
64
[
9
]
y^{2} \equiv 64\left[9\right]
y
2
≡
64
[
9
]
D'où :
y
2
≡
1
[
9
]
y^{2} \equiv 1\left[9\right]
y
2
≡
1
[
9
]
car
64
=
9
×
7
+
1
64=9\times 7+1
64
=
9
×
7
+
1
Il vient alors que :
y
2
−
1
≡
(
1
−
1
)
[
9
]
y^{2}-1 \equiv \left(1-1\right)\left[9\right]
y
2
−
1
≡
(
1
−
1
)
[
9
]
Finalement :
y
2
−
1
≡
0
[
9
]
y^{2}-1 \equiv 0\left[9\right]
y
2
−
1
≡
0
[
9
]