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Divisibilité dans $\mathbb{Z}$ et congruences
Congruences et équations - Exercice 2
5 min
10
Question 1
Déterminer tous les entiers relatifs
n
n
n
tels que
n
+
3
≡
−
2
[
6
]
n+3\equiv -2\left[6\right]
n
+
3
≡
−
2
[
6
]
Correction
n
+
3
≡
−
2
[
6
]
n+3\equiv -2\left[6\right]
n
+
3
≡
−
2
[
6
]
équivaut successivement à :
n
≡
(
−
2
−
3
)
[
6
]
n\equiv \left(-2-3\right)\left[6\right]
n
≡
(
−
2
−
3
)
[
6
]
Ainsi :
n
≡
−
5
[
6
]
n\equiv -5\left[6\right]
n
≡
−
5
[
6
]
On vérifie facilement que
−
5
≡
1
[
6
]
-5\equiv 1\left[6\right]
−
5
≡
1
[
6
]
On a alors :
n
≡
1
[
6
]
n\equiv 1\left[6\right]
n
≡
1
[
6
]
qui se traduit par
n
=
1
+
6
k
n=1+6k
n
=
1
+
6
k
où
k
∈
Z
k\in \mathbb{Z}
k
∈
Z
Finalement, les entiers relatifs
n
n
n
tels que
n
+
3
≡
−
2
[
6
]
n+3\equiv -2\left[6\right]
n
+
3
≡
−
2
[
6
]
s'écrivent sous la forme
1
+
6
k
1+6k
1
+
6
k
où
k
∈
Z
k\in \mathbb{Z}
k
∈
Z