Congruences et équations - Exercice 1

Les restes de la division euclidienne par $$5$$ sont $$0,1,2,3$$ et $$4$$.
Maintenant, en utilisant un tableau des congruences modulo $$5$$, on obtient :
Il faut analyser la dernière ligne de ce tableau de congruence.
Cela signifie que quel que soit l'entier naturel $$n$$, $$n^{5} -n$$ est divisible par $$5$$. En effet, il n'y a que des zéros à la dernière ligne qui confirme l'écriture $$n^{5} -n\equiv 0\left[5\right]$$ .
Autrement dit, tous les entiers naturels vérifient $$n^{5} -n\equiv 0\left[5\right]$$

Les restes de la division euclidienne par $$4$$ sont $$0,1,2$$ et $$3$$.
Maintenant, en utilisant un tableau des congruences modulo $$4$$, on obtient :Il faut analyser la dernière ligne de ce tableau de congruence.
Cela signifie que quel que soit l'entier naturel $$n$$, $$n\left(n+2\right)\left(n+1\right)^{2}$$ est divisible par $$4$$. En effet, il n'y a que des zéros à la dernière ligne qui confirme l'écriture $$n\left(n+2\right)\left(n+1\right)^{2}\equiv 0\left[4\right]$$ .
Autrement dit, tous les entiers naturels vérifient $$n\left(n+2\right)\left(n+1\right)^{2}\equiv 0\left[4\right]$$