Congruences et équations - Exercice 1

Les restes de la division euclidienne par $$5$$ sont $$0,1,2,3$$ et $$4$$.
Maintenant, en utilisant un tableau des congruences modulo $$5$$, on obtient :
$$\red{\text{Lecture du tableau :}}$$ la dernière ligne ne contient que des $$0$$ : quel que soit le reste de $$n$$ dans la division euclidienne par $$5$$, on a $$n^{5}-n\equiv 0\left[5\right]$$.
Finalement, tous les entiers naturels sont solutions :
$$\red{\text{Remarque :}}$$ comme $$5$$ est un nombre premier, c'est un cas particulier du petit théorème de Fermat (chapitre « Nombres premiers ») : $$n^{5}\equiv n\left[5\right]$$ pour tout entier $$n$$.

Les restes de la division euclidienne par $$4$$ sont $$0,1,2$$ et $$3$$.
Maintenant, en utilisant un tableau des congruences modulo $$4$$, on obtient :$$\red{\text{Lecture du tableau :}}$$ la dernière ligne ne contient que des $$0$$ : quel que soit le reste de $$n$$ dans la division euclidienne par $$4$$, on a $$n\left(n+2\right)\left(n+1\right)^{2}\equiv 0\left[4\right]$$.
Finalement, tous les entiers naturels sont solutions :