Divisibilité dans $\mathbb{Z}$ et congruences

Congruences - Exercice 1

5 min
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Question 1
Compléter les congruences suivantes :

34≡…[7]34\equiv \ldots \left[7\right]

Correction
Soit mm un entier naturel (m>2)\left(m > 2\right) . Soient xx et yy deux entiers relatifs.
On dit que deux entiers xx et yy sont congrus modulo mm si, et seulement si, xx et yy ont même reste par la division euclidienne par mm.
On note alors : x≡y[m]x\equiv y\left[m\right]
La division euclidienne de 34\red{34} par 7\blue{7} s'écrit :
34=7×4+6\red{34} = \blue{7}\times\purple{4} + \pink{6} avec 0≤6<70\le \pink{6} < \blue{7}
Donc le reste vaut r=6\pink{r=6}
Il en résulte donc que : 34≡6[7]34\equiv \pink{6} \left[7\right]
Question 2

109≡…[8]109\equiv \ldots \left[8\right]

Correction
Soit mm un entier naturel (m>2)\left(m > 2\right) . Soient xx et yy deux entiers relatifs.
On dit que deux entiers xx et yy sont congrus modulo mm si, et seulement si, xx et yy ont même reste par la division euclidienne par mm.
On note alors : x≡y[m]x\equiv y\left[m\right]
La division euclidienne de 109\red{109} par 8\blue{8} s'écrit :
109=8×13+5\red{109} = \blue{8}\times\purple{13} + \pink{5} avec 0≤5<80\le \pink{5} < \blue{8}
Donc le reste vaut r=5\pink{r=5}
Il en résulte donc que : 109≡5[8]109\equiv \pink{5} \left[8\right]
Question 3

121≡…[4]121\equiv \ldots \left[4\right]

Correction
Soit mm un entier naturel (m>2)\left(m > 2\right) . Soient xx et yy deux entiers relatifs.
On dit que deux entiers xx et yy sont congrus modulo mm si, et seulement si, xx et yy ont même reste par la division euclidienne par mm.
On note alors : x≡y[m]x\equiv y\left[m\right]
La division euclidienne de 121\red{121} par 4\blue{4} s'écrit :
121=4×30+1\red{121} = \blue{4}\times\purple{30} + \pink{1} avec 0≤1<40\le \pink{1} < \blue{4}
Donc le reste vaut r=1\pink{r=1}
Il en résulte donc que : 121≡1[4]121\equiv \pink{1} \left[4\right]
Question 4

843≡…[6]843\equiv \ldots \left[6\right]

Correction
Soit mm un entier naturel (m>2)\left(m > 2\right) . Soient xx et yy deux entiers relatifs.
On dit que deux entiers xx et yy sont congrus modulo mm si, et seulement si, xx et yy ont même reste par la division euclidienne par mm.
On note alors : x≡y[m]x\equiv y\left[m\right]
La division euclidienne de 843\red{843} par 6\blue{6} s'écrit :
843=6×140+3\red{843} = \blue{6}\times\purple{140} + \pink{3} avec 0≤3<60\le \pink{3} < \blue{6}
Donc le reste vaut r=3\pink{r=3}
Il en résulte donc que : 843≡3[6]843\equiv \pink{3} \left[6\right]
Question 5

439≡…[12]439\equiv \ldots \left[12\right]

Correction
Soit mm un entier naturel (m>2)\left(m > 2\right) . Soient xx et yy deux entiers relatifs.
On dit que deux entiers xx et yy sont congrus modulo mm si, et seulement si, xx et yy ont même reste par la division euclidienne par mm.
On note alors : x≡y[m]x\equiv y\left[m\right]
La division euclidienne de 439\red{439} par 12\blue{12} s'écrit :
439=12×36+7\red{439} = \blue{12}\times\purple{36} + \pink{7} avec 0≤7<120\le \pink{7} < \blue{12}
Donc le reste vaut r=7\pink{r=7}
Il en résulte donc que : 439≡7[12]439\equiv \pink{7} \left[12\right]