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Divisibilité dans $\mathbb{Z}$ et congruences

Congruences - Exercice 1

5 min
10
Question 1
Compléter les congruences suivantes :

34[7]34\equiv \ldots \left[7\right]

Correction
Soit mm un entier naturel (m>2)\left(m > 2\right) . Soient xx et yy deux entiers relatifs.
On dit que deux entiers xx et yy sont congrus modulo mm si, et seulement si, xx et yy ont même reste par la division euclidienne par mm.
On note alors : xy[m]x\equiv y\left[m\right]
La division euclidienne de 34\red{34} par 7\blue{7} s'écrit :
34=7×4+6\red{34} = \blue{7}\times\purple{4} + \pink{6} avec 06<70\le \pink{6} < \blue{7}
Donc le reste vaut r=6\pink{r=6}
Il en résulte donc que : 346[7]34\equiv \pink{6} \left[7\right]
Question 2

109[8]109\equiv \ldots \left[8\right]

Correction
Soit mm un entier naturel (m>2)\left(m > 2\right) . Soient xx et yy deux entiers relatifs.
On dit que deux entiers xx et yy sont congrus modulo mm si, et seulement si, xx et yy ont même reste par la division euclidienne par mm.
On note alors : xy[m]x\equiv y\left[m\right]
La division euclidienne de 109\red{109} par 8\blue{8} s'écrit :
109=8×13+5\red{109} = \blue{8}\times\purple{13} + \pink{5} avec 05<80\le \pink{5} < \blue{8}
Donc le reste vaut r=5\pink{r=5}
Il en résulte donc que : 1095[8]109\equiv \pink{5} \left[8\right]
Question 3

121[4]121\equiv \ldots \left[4\right]

Correction
Soit mm un entier naturel (m>2)\left(m > 2\right) . Soient xx et yy deux entiers relatifs.
On dit que deux entiers xx et yy sont congrus modulo mm si, et seulement si, xx et yy ont même reste par la division euclidienne par mm.
On note alors : xy[m]x\equiv y\left[m\right]
La division euclidienne de 121\red{121} par 4\blue{4} s'écrit :
121=4×30+1\red{121} = \blue{4}\times\purple{30} + \pink{1} avec 01<40\le \pink{1} < \blue{4}
Donc le reste vaut r=1\pink{r=1}
Il en résulte donc que : 1211[4]121\equiv \pink{1} \left[4\right]
Question 4

843[6]843\equiv \ldots \left[6\right]

Correction
Soit mm un entier naturel (m>2)\left(m > 2\right) . Soient xx et yy deux entiers relatifs.
On dit que deux entiers xx et yy sont congrus modulo mm si, et seulement si, xx et yy ont même reste par la division euclidienne par mm.
On note alors : xy[m]x\equiv y\left[m\right]
La division euclidienne de 843\red{843} par 6\blue{6} s'écrit :
843=6×140+3\red{843} = \blue{6}\times\purple{140} + \pink{3} avec 03<60\le \pink{3} < \blue{6}
Donc le reste vaut r=3\pink{r=3}
Il en résulte donc que : 8433[6]843\equiv \pink{3} \left[6\right]
Question 5

439[12]439\equiv \ldots \left[12\right]

Correction
Soit mm un entier naturel (m>2)\left(m > 2\right) . Soient xx et yy deux entiers relatifs.
On dit que deux entiers xx et yy sont congrus modulo mm si, et seulement si, xx et yy ont même reste par la division euclidienne par mm.
On note alors : xy[m]x\equiv y\left[m\right]
La division euclidienne de 439\red{439} par 12\blue{12} s'écrit :
439=12×36+7\red{439} = \blue{12}\times\purple{36} + \pink{7} avec 07<120\le \pink{7} < \blue{12}
Donc le reste vaut r=7\pink{r=7}
Il en résulte donc que : 4397[12]439\equiv \pink{7} \left[12\right]