Chiffrement et codes de contrôle - Exercice 2

30 min
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On chiffre maintenant avec une fonction affine : la lettre de rang xx est codée par la lettre de rang yy, où y≡5x+8[26]y\equiv 5x+8\left[26\right] et 0≤y≤250\le y\le 25 (même tableau des rangs).
Question 1

Coder le mot BAC.

Correction
  • B : x=1x=1, 5×1+8=135\times 1+8=13, donc y=13y=13 : N
  • A : x=0x=0, y=8y=8 : I
  • C : x=2x=2, 5×2+8=185\times 2+8=18, donc y=18y=18 : S
    • Le mot BAC est codé :
    NIS
    Question 2

    Vérifier que 21×5≡1[26]21\times 5\equiv 1\left[26\right].

    Correction
    21×5=105=26×4+121\times 5=105=26\times 4+1, donc
    21×5≡1[26]21\times 5\equiv 1\left[26\right]

    2121 est un inverse de 55 modulo 2626.
    Question 3

    Démontrer que y≡5x+8[26]y\equiv 5x+8\left[26\right] équivaut à x≡21y+14[26]x\equiv 21y+14\left[26\right].

    Correction
    Soient mm un entier naturel (m≥2)\left(m \geq 2\right), aa, bb, cc et dd des entiers relatifs vérifiant : a≡b[m]\red{a} \equiv \red{b}\left[m\right] et c≡d[m]\blue{c} \equiv \blue{d}\left[m\right].
  • a+c≡b+d[m]\red{a}+\blue{c} \equiv \red{b}+\blue{d}\left[m\right]
  • a×c≡b×d[m]\red{a}\times\blue{c} \equiv \red{b}\times\blue{d}\left[m\right]
  • Pour tout entier naturel kk : ak≡bk[m]\red{a}^{k} \equiv \red{b}^{k}\left[m\right]
    • Si\red{\text{Si}} y≡5x+8[26]y\equiv 5x+8\left[26\right], alors en multipliant par 2121 :
    21y≡105x+168[26]21y\equiv 105x+168\left[26\right]
    21y≡x+12[26]21y\equiv x+12\left[26\right] car 105≡1105\equiv 1 et 168=26×6+12168=26\times 6+12
    x≡21y−12[26]x\equiv 21y-12\left[26\right]
    x≡21y+14[26]x\equiv 21y+14\left[26\right] car −12≡14[26]-12\equiv 14\left[26\right]
    Reˊciproquement,\red{\text{Réciproquement,}} si x≡21y+14[26]x\equiv 21y+14\left[26\right], alors en multipliant par 55 :
    5x≡105y+70≡y+18[26]5x\equiv 105y+70\equiv y+18\left[26\right] car 70=26×2+1870=26\times 2+18
    y≡5x−18≡5x+8[26]y\equiv 5x-18\equiv 5x+8\left[26\right]
    y≡5x+8[26]y\equiv 5x+8\left[26\right] si et seulement si x≡21y+14[26]x\equiv 21y+14\left[26\right]
    Question 4

    Décoder le mot SAXC.

    Correction
    On utilise x≡21y+14[26]x\equiv 21y+14\left[26\right] :
  • S : y=18y=18, 21×18+14=392=26×15+221\times 18+14=392=26\times 15+2, donc x=2x=2 : C
  • A : y=0y=0, x=14x=14 : O
  • X : y=23y=23, 21×23+14=497=26×19+321\times 23+14=497=26\times 19+3, donc x=3x=3 : D
  • C : y=2y=2, 21×2+14=56=26×2+421\times 2+14=56=26\times 2+4, donc x=4x=4 : E
    • Le mot décodé est
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