Divisibilité dans $\mathbb{Z}$ et congruences

Caractériser la divisibilité : utiliser une combinaison lineˊaire\red{\text{utiliser une combinaison linéaire}} - Exercice 4

4 min
10
Question 1

Adam affirme que quel que soit l'entier relatif nn, si n−2n-2 divise 3n−13n-1 alors n−2n-2 divise 1111 . Lina affirme qu'Adam s'est trompé car dans cette situation n−2n-2 divise 1010. Qui a raison ?

Correction
Soient aa, bb et cc trois entiers relatifs.
Si aa divise bb et cc alors aa divise toute combinaison linéaire de bb et de cc.
  • Autrement dit, si aa divise bb et cc alors aa divise βa+αb\blue{\beta} a+\purple{\alpha} b où β\beta et α\alpha sont deux entiers relatifs.
    • n−2n-2 divise 3n−13n-1 et n−2n-2 divise n−2n-2 alors n−2n-2 divise toute combinaison linéaire de 3n−13n-1 et n−2n-2.
    Par exemple :
    n−2n-2 divise (2×(3n−1)+(−6)×(n−2))\left(\blue{2}\times \left(3n-1\right)+\purple{\left(-6\right)}\times\left(n-2\right)\right) . Ici, nous avons construit une combinaison lineˊaire indeˊpendante de\red{\text{combinaison linéaire indépendante de}} n\red{n}
    n−2n-2 divise (6n−2−6n+12)\left(6n-2-6n+12\right)
    n−2n-2 divise 1010
    Lina a raison .