Divisibilité dans $\mathbb{Z}$ et congruences

Caractériser la divisibilité : utiliser une combinaison lineˊaire\red{\text{utiliser une combinaison linéaire}} - Exercice 3

6 min
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Question 1

Soient dd un entier naturel non nul et nn un entier naturel .
Démontrer que si dd divise 5n+45n + 4 et 3n+13n + 1, alors dd divise 77. Quelles sont alors les valeurs possibles de dd ?

Correction
Soient aa, bb et cc trois entiers relatifs.
Si aa divise bb et cc alors aa divise toute combinaison linéaire de bb et de cc.
  • Autrement dit, si aa divise bb et cc alors aa divise βa+αb\blue{\beta} a+\purple{\alpha} bβ\beta et α\alpha sont deux entiers relatifs.
  • dd divise 5n+45n+4 et dd divise 3n+13n+1 alors dd divise toute combinaison linéaire de 5n+45n+4 et 3n+13n+1.
    Par exemple :
    dd divise (3×(5n+4)+(5)×(3n+1))\left(\blue{3}\times \left(5n+4\right)+\purple{\left(-5\right)}\times\left(3n+1\right)\right) . Ici, nous avons construit une combinaison lineˊaire indeˊpendante de\red{\text{combinaison linéaire indépendante de}} n\red{n}
    dd divise (15n+1215n5)\left(15n+12-15n-5\right)
    Ainsi :
    dd divise 77

    77 n’a que deux diviseurs, 11 et 77 d'où : d{1;7}d\in \left\{1;7\right\}
    Question 2

    Soient dd un entier relatif non nul et nn un entier relatif .
    Démontrer que si dd divise 2n+62n + 6 et 8n+28n + 2, alors dd divise 2222. Quelles sont alors les valeurs possibles de dd ?

    Correction
    Soient aa, bb et cc trois entiers relatifs.
    Si aa divise bb et cc alors aa divise toute combinaison linéaire de bb et de cc.
  • Autrement dit, si aa divise bb et cc alors aa divise βa+αb\blue{\beta} a+\purple{\alpha} bβ\beta et α\alpha sont deux entiers relatifs.
  • dd divise 2n+62n+6 et dd divise 8n+28n+2 alors dd divise toute combinaison linéaire de 2n+62n+6 et 8n+28n+2.
    Par exemple :
    dd divise (4×(2n+6)+(1)×(8n+2))\left(\blue{4}\times \left(2n+6\right)+\purple{\left(-1\right)}\times\left(8n+2\right)\right) . Ici, nous avons construit une combinaison lineˊaire indeˊpendante de\red{\text{combinaison linéaire indépendante de}} n\red{n}
    dd divise (8n+248n+2)\left(8n+24-8n+2\right)
    Ainsi :
    dd divise 2222

    Les diviseurs de 2222 dans Z\mathbb{Z} sont : {22;11;2;1;1;2;11;22}\left\{-22; -11;-2;-1; 1;2;11;22\right\} que l'on note également : D(22)={22;11;2;1;1;2;11;22}D\left(22\right)=\left\{-22; -11;-2;-1; 1;2;11;22\right\}
    Ainsi les valeurs possibles de dd sont {22;11;2;1;1;2;11;22}\left\{-22; -11;-2;-1; 1;2;11;22\right\}