La fraction
3n+22n−1 est un entier si et seulement si
3n+2 divise
2n−1.
Soient
a,
b et
c trois entiers relatifs.
Si
a divise
b et
c alors
a divise toute combinaison linéaire de
b et de
c.
Autrement dit, si a divise b et c alors a divise βa+αb où β et α sont deux entiers relatifs. 3n+2 divise
2n−1 et
3n+2 divise
3n+2 alors
3n+2 divise toute combinaison linéaire de
2n−1 et
3n+2.
Par exemple :
3n+2 divise
(3×(2n−1)+(−2)×(3n+2)) . Ici, nous avons construit une
combinaison lineˊaire indeˊpendante de n 3n+2 divise
(6n−3−6n−4) 3n+2 divise
−7 Les diviseurs de
−7 dans
Z sont :
{−7;−1;1;7} que l'on note également :
D(−7)={−7;−1;1;7} On a donc :
3n+2=−7⇔3n=−9⇔n=−3 ou 3n+2=−1⇔3n=−3⇔n=−1 ou 3n+2=1⇔3n=−1⇔n=−31 ou 3n+2=7⇔3n=5⇔n=35 N'oublions pas que
n est un entier relatif donc les solutions possibles pour
n sont alors :
{−3;−1}Il faut ensuite vérifier que pour ces valeurs de
n on a :
3n+2 divise
2n−1Si
n=−3 , cela donne
−7 divise
−7 ce qui est vrai .
Si
n=−1 , cela donne
−1 divise
−3 ce qui est vrai .
Finalement, les entiers relatifs
n tels que
3n+2 divise
2n−1 sont :
{−3;−1} Autrement dit, les entiers relatif
n tels que la fraction
3n+22n−1 soit un entier sont les entiers
n=−3 et
n=−1 .