Divisibilité dans $\mathbb{Z}$ et congruences

Caractériser la divisibilité : utiliser une combinaison lineˊaire\red{\text{utiliser une combinaison linéaire}} - Exercice 1

6 min
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Question 1
Soit nn un entier relatif. Nous souhaitons déterminer les valeurs de nn pour lesquelles 3n83n-8 divise 4n+54n+5 .

Établir la liste des diviseurs de 4747 dans Z\mathbb{Z} .

Correction
Les diviseurs de 4747 dans Z\mathbb{Z} sont : {47;1;1;47}\left\{-47; -1; 1;47\right\} que l'on note également : D(47)={47;1;1;47}D\left(47\right)=\left\{-47; -1; 1;47\right\}
Question 2

Montrer que si nn est solution alors 3n83n-8 divise 4747 .

Correction
Soient aa, bb et cc trois entiers relatifs.
Si aa divise bb et cc alors aa divise toute combinaison linéaire de bb et de cc.
  • Autrement dit, si aa divise bb et cc alors aa divise βa+αb\blue{\beta} a+\purple{\alpha} bβ\beta et α\alpha sont deux entiers relatifs.
  • 3n83n-8 divise 4n+54n+5 et 3n83n-8 divise 3n83n-8 alors 3n83n-8 divise toute combinaison linéaire de 4n+54n+5 et 3n83n-8.
    Par exemple :
    3n83n-8 divise (3×(4n+5)+(4)×(3n8))\left(\blue{3}\times \left(4n+5\right)+\purple{\left(-4\right)}\times\left(3n-8\right)\right) . Ici, nous avons construit une combinaison lineˊaire indeˊpendante de\red{\text{combinaison linéaire indépendante de}} n\red{n}
    3n83n-8 divise (12n+1512n+32)\left(12n+15-12n+32\right)
    3n83n-8 divise 4747
    Question 3

    Déterminer les valeurs possibles de nn .

    Correction
    Nous savons que 3n83n-8 divise 4747 et que les diviseurs de 4747 sont {47;1;1;47}\left\{-47; -1; 1;47\right\}
    On a donc :
    3n8=473n=39n=133n-8=-47\Leftrightarrow 3n=-39\Leftrightarrow n=-13 ou\pink{\text{ou}} 3n8=13n=7n=733n-8=-1\Leftrightarrow 3n=7\Leftrightarrow n=\frac{7}{3} ou\pink{\text{ou}} 3n8=13n=9n=33n-8=1\Leftrightarrow 3n=9\Leftrightarrow n=3 ou\pink{\text{ou}} 3n8=473n=55n=5533n-8=47\Leftrightarrow 3n=55\Leftrightarrow n=\frac{55}{3}
    N'oublions pas que nn est un entier relatif donc les solutions possibles pour nn sont alors : {13;3}\left\{-13;3\right\}
    Les solutions possibles pour nn sont alors : {13;3}\left\{-13;3\right\}
    Il faut ensuite vérifier que pour ces valeurs de nn on a : 3n83n-8 divise 4n+54n+5
    Si n=13n=-13 , cela donne 47-47 divise 47-47 ce qui est vrai \green{\text{ce qui est vrai }}.
    Si n=3n=3 , cela donne 11 divise 1717 ce qui est vrai \green{\text{ce qui est vrai }}.
    Finalement, les entiers relatifs nn tels que 3n83n-8 divise 4n+54n+5 sont :
    {13;3}\left\{-13;3\right\}