Caractériser la divisibilité : utiliser une combinaison linéaire - Exercice 1

Les diviseurs de $$47$$ dans $$\mathbb{Z}$$ sont : $$\left\{-47; -1; 1;47\right\}$$ que l'on note également : $$D\left(47\right)=\left\{-47; -1; 1;47\right\}$$

$$3n-8$$ divise $$4n+5$$ et $$3n-8$$ divise $$3n-8$$ alors $$3n-8$$ divise toute combinaison linéaire de $$4n+5$$ et $$3n-8$$.
Par exemple :
$$3n-8$$ divise $$\left(\blue{3}\times \left(4n+5\right)+\purple{\left(-4\right)}\times\left(3n-8\right)\right)$$. On a choisi les coefficients pour que les termes en $$n$$ s'éliminent : cette combinaison linéaire $$\red{\text{ne dépend plus de}}$$ $$\red{n}$$.
$$3n-8$$ divise $$\left(12n+15-12n+32\right)$$
$$3n-8$$ divise $$47$$

Nous savons que $$3n-8$$ divise $$47$$ et que les diviseurs de $$47$$ sont $$\left\{-47; -1; 1;47\right\}$$
On a donc :
$$3n-8=-47\Leftrightarrow 3n=-39\Leftrightarrow n=-13$$ $$\pink{\text{ou}}$$ $$3n-8=-1\Leftrightarrow 3n=7\Leftrightarrow n=\frac{7}{3}$$ $$\pink{\text{ou}}$$ $$3n-8=1\Leftrightarrow 3n=9\Leftrightarrow n=3$$ $$\pink{\text{ou}}$$ $$3n-8=47\Leftrightarrow 3n=55\Leftrightarrow n=\frac{55}{3}$$
N'oublions pas que $$n$$ est un entier relatif donc les solutions possibles pour $$n$$ sont alors : $$\left\{-13;3\right\}$$
En effet, nous avons seulement montré que si $$3n-8$$ divise $$4n+5$$, alors $$3n-8$$ divise $$47$$ (condition nécessaire) : les valeurs trouvées sont des candidates, qu'il faut tester.
$$\red{\text{Réciproquement,}}$$ il faut vérifier que ces valeurs conviennent, c'est-à-dire que : $$3n-8$$ divise $$4n+5$$
Si $$n=-13$$ , cela donne $$-47$$ divise $$-47$$ $$\green{\text{ce qui est vrai }}$$.
Si $$n=3$$ , cela donne $$1$$ divise $$17$$ $$\green{\text{ce qui est vrai }}$$.
Finalement, les entiers relatifs $$n$$ tels que $$3n-8$$ divise $$4n+5$$ sont :