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Divisibilité dans $\mathbb{Z}$ et congruences
Caractériser la divisibilité :
les notions fondamentales
\red{\text{les notions fondamentales}}
les notions fondamentales
- Exercice 2
8 min
15
Question 1
Déterminer les diviseurs de
3
3
3
et en déduire les entiers relatifs
n
n
n
tels que
5
n
−
2
5n-2
5
n
−
2
divise
3
3
3
.
Correction
Les diviseurs de
3
3
3
sont
D
(
3
)
=
{
−
3
;
−
1
;
1
;
3
}
D\left(3\right)=\left\{-3; -1; 1;3\right\}
D
(
3
)
=
{
−
3
;
−
1
;
1
;
3
}
.
Comme
5
n
−
2
5n-2
5
n
−
2
divise
3
3
3
alors
5
n
−
2
5n-2
5
n
−
2
doit
e
ˆ
tre
e
ˊ
gal
a
ˋ
un des diviseurs de
\red{\text{doit être égal à un des diviseurs de}}
doit
e
ˆ
tre
e
ˊ
gal
a
ˋ
un des diviseurs de
3
\red{3}
3
. Cela nous donne donc :
5
n
−
2
=
−
3
⇔
5
n
=
−
3
+
2
⇔
5
n
=
−
1
⇔
n
=
−
1
5
5n-2=-3\Leftrightarrow 5n=-3+2\Leftrightarrow 5n=-1\Leftrightarrow n=\frac{-1}{5}
5
n
−
2
=
−
3
⇔
5
n
=
−
3
+
2
⇔
5
n
=
−
1
⇔
n
=
5
−
1
or :
−
1
5
∉
Z
\frac{-1}{5}\notin \mathbb{Z}
5
−
1
∈
/
Z
donc pas de solutions dans
Z
\mathbb{Z}
Z
5
n
−
2
=
−
1
⇔
5
n
=
−
1
+
2
⇔
5
n
=
1
⇔
n
=
1
5
5n-2=-1\Leftrightarrow 5n=-1+2\Leftrightarrow 5n=1\Leftrightarrow n=\frac{1}{5}
5
n
−
2
=
−
1
⇔
5
n
=
−
1
+
2
⇔
5
n
=
1
⇔
n
=
5
1
or :
1
5
∉
Z
\frac{1}{5}\notin \mathbb{Z}
5
1
∈
/
Z
donc pas de solutions dans
Z
\mathbb{Z}
Z
5
n
−
2
=
1
⇔
5
n
=
1
+
2
⇔
5
n
=
3
⇔
n
=
3
5
5n-2=1\Leftrightarrow 5n=1+2\Leftrightarrow 5n=3\Leftrightarrow n=\frac{3}{5}
5
n
−
2
=
1
⇔
5
n
=
1
+
2
⇔
5
n
=
3
⇔
n
=
5
3
or :
3
5
∉
Z
\frac{3}{5}\notin \mathbb{Z}
5
3
∈
/
Z
donc pas de solutions dans
Z
\mathbb{Z}
Z
5
n
−
2
=
3
⇔
5
n
=
3
+
2
⇔
5
n
=
5
⇔
n
=
5
5
⇔
n
=
1
5n-2=3\Leftrightarrow 5n=3+2\Leftrightarrow 5n=5\Leftrightarrow n=\frac{5}{5}\Leftrightarrow {\color{blue}{n=1}}
5
n
−
2
=
3
⇔
5
n
=
3
+
2
⇔
5
n
=
5
⇔
n
=
5
5
⇔
n
=
1
Il n'existe qu'un seul entier relatif tel que
5
n
−
2
5n-2
5
n
−
2
divise
3
3
3
qui est
n
=
1
n=1
n
=
1
.
Question 2
Déterminer les diviseurs de
8
8
8
et en déduire les entiers relatifs
n
n
n
tels que
2
n
−
10
2n-10
2
n
−
10
divise
8
8
8
.
Correction
Les diviseurs de
8
8
8
sont
D
(
8
)
=
{
−
8
;
−
4
;
−
2
;
−
1
;
1
;
2
;
4
;
8
}
D\left(8\right)=\left\{-8;-4;-2; -1; 1;2;4;8\right\}
D
(
8
)
=
{
−
8
;
−
4
;
−
2
;
−
1
;
1
;
2
;
4
;
8
}
.
Comme
2
n
−
10
2n-10
2
n
−
10
divise
8
8
8
alors
2
n
−
10
2n-10
2
n
−
10
doit
e
ˆ
tre
e
ˊ
gal
a
ˋ
un des diviseurs de
\red{\text{doit être égal à un des diviseurs de}}
doit
e
ˆ
tre
e
ˊ
gal
a
ˋ
un des diviseurs de
8
\red{8}
8
. Cela nous donne donc :
2
n
−
10
=
−
8
⇔
2
n
=
−
8
+
10
⇔
2
n
=
2
⇔
n
=
2
2
⇔
n
=
1
2n-10=-8\Leftrightarrow 2n=-8+10\Leftrightarrow 2n=2\Leftrightarrow n=\frac{2}{2} \Leftrightarrow {\color{blue}{n=1}}
2
n
−
10
=
−
8
⇔
2
n
=
−
8
+
10
⇔
2
n
=
2
⇔
n
=
2
2
⇔
n
=
1
2
n
−
10
=
−
4
⇔
2
n
=
−
4
+
10
⇔
2
n
=
6
⇔
n
=
6
2
⇔
n
=
3
2n-10=-4\Leftrightarrow 2n=-4+10\Leftrightarrow 2n=6\Leftrightarrow n=\frac{6}{2} \Leftrightarrow {\color{blue}{n=3}}
2
n
−
10
=
−
4
⇔
2
n
=
−
4
+
10
⇔
2
n
=
6
⇔
n
=
2
6
⇔
n
=
3
2
n
−
10
=
−
2
⇔
2
n
=
−
2
+
10
⇔
2
n
=
8
⇔
n
=
8
2
⇔
n
=
4
2n-10=-2\Leftrightarrow 2n=-2+10\Leftrightarrow 2n=8\Leftrightarrow n=\frac{8}{2} \Leftrightarrow {\color{blue}{n=4}}
2
n
−
10
=
−
2
⇔
2
n
=
−
2
+
10
⇔
2
n
=
8
⇔
n
=
2
8
⇔
n
=
4
2
n
−
10
=
−
1
⇔
2
n
=
−
1
+
10
⇔
2
n
=
9
⇔
n
=
9
2
2n-10=-1\Leftrightarrow 2n=-1+10\Leftrightarrow 2n=9\Leftrightarrow n=\frac{9}{2}
2
n
−
10
=
−
1
⇔
2
n
=
−
1
+
10
⇔
2
n
=
9
⇔
n
=
2
9
or :
9
2
∉
Z
\frac{9}{2}\notin \mathbb{Z}
2
9
∈
/
Z
donc pas de solutions dans
Z
\mathbb{Z}
Z
2
n
−
10
=
1
⇔
2
n
=
1
+
10
⇔
2
n
=
11
⇔
n
=
11
2
2n-10=1\Leftrightarrow 2n=1+10\Leftrightarrow 2n=11\Leftrightarrow n=\frac{11}{2}
2
n
−
10
=
1
⇔
2
n
=
1
+
10
⇔
2
n
=
11
⇔
n
=
2
11
or :
11
2
∉
Z
\frac{11}{2}\notin \mathbb{Z}
2
11
∈
/
Z
donc pas de solutions dans
Z
\mathbb{Z}
Z
2
n
−
10
=
2
⇔
2
n
=
2
+
10
⇔
2
n
=
12
⇔
n
=
12
2
⇔
n
=
6
2n-10=2\Leftrightarrow 2n=2+10\Leftrightarrow 2n=12\Leftrightarrow n=\frac{12}{2} \Leftrightarrow {\color{blue}{n=6}}
2
n
−
10
=
2
⇔
2
n
=
2
+
10
⇔
2
n
=
12
⇔
n
=
2
12
⇔
n
=
6
2
n
−
10
=
4
⇔
2
n
=
4
+
10
⇔
2
n
=
14
⇔
n
=
14
2
⇔
n
=
7
2n-10=4\Leftrightarrow 2n=4+10\Leftrightarrow 2n=14\Leftrightarrow n=\frac{14}{2} \Leftrightarrow {\color{blue}{n=7}}
2
n
−
10
=
4
⇔
2
n
=
4
+
10
⇔
2
n
=
14
⇔
n
=
2
14
⇔
n
=
7
2
n
−
10
=
8
⇔
2
n
=
8
+
10
⇔
2
n
=
18
⇔
n
=
18
2
⇔
n
=
9
2n-10=8\Leftrightarrow 2n=8+10\Leftrightarrow 2n=18\Leftrightarrow n=\frac{18}{2} \Leftrightarrow {\color{blue}{n=9}}
2
n
−
10
=
8
⇔
2
n
=
8
+
10
⇔
2
n
=
18
⇔
n
=
2
18
⇔
n
=
9
Les entiers relatifs
n
n
n
tels que
2
n
−
10
2n-10
2
n
−
10
divise
8
8
8
sont :
S
=
{
1
;
3
;
4
;
6
;
7
;
9
}
S=\left\{1;3;4;6;7;9\right\}
S
=
{
1
;
3
;
4
;
6
;
7
;
9
}
Question 3
Déterminer les diviseurs de
6
6
6
et en déduire les entiers relatifs
n
n
n
tels que
8
n
+
24
8n+24
8
n
+
24
divise
6
6
6
.
Correction
Les diviseurs de
6
6
6
sont
D
(
3
)
=
{
−
6
;
−
3
;
−
2
;
−
1
;
1
;
2
;
3
;
6
}
D\left(3\right)=\left\{-6;-3;-2; -1; 1;2;3;6\right\}
D
(
3
)
=
{
−
6
;
−
3
;
−
2
;
−
1
;
1
;
2
;
3
;
6
}
.
Comme
8
n
+
24
8n+24
8
n
+
24
divise
6
6
6
alors
8
n
+
24
8n+24
8
n
+
24
doit
e
ˆ
tre
e
ˊ
gal
a
ˋ
un des diviseurs de
\red{\text{doit être égal à un des diviseurs de}}
doit
e
ˆ
tre
e
ˊ
gal
a
ˋ
un des diviseurs de
6
\red{6}
6
. Cela nous donne donc :
8
n
+
24
=
−
6
⇔
8
n
=
−
6
−
24
⇔
8
n
=
−
30
⇔
n
=
−
30
8
8n+24=-6\Leftrightarrow 8n=-6-24\Leftrightarrow 8n=-30\Leftrightarrow n=-\frac{30}{8}
8
n
+
24
=
−
6
⇔
8
n
=
−
6
−
24
⇔
8
n
=
−
30
⇔
n
=
−
8
30
or :
−
30
8
∉
Z
-\frac{30}{8}\notin \mathbb{Z}
−
8
30
∈
/
Z
donc pas de solutions dans
Z
\mathbb{Z}
Z
8
n
+
24
=
−
3
⇔
8
n
=
−
3
−
24
⇔
8
n
=
−
27
⇔
n
=
−
27
8
8n+24=-3\Leftrightarrow 8n=-3-24\Leftrightarrow 8n=-27\Leftrightarrow n=-\frac{27}{8}
8
n
+
24
=
−
3
⇔
8
n
=
−
3
−
24
⇔
8
n
=
−
27
⇔
n
=
−
8
27
or :
−
27
8
∉
Z
-\frac{27}{8}\notin \mathbb{Z}
−
8
27
∈
/
Z
donc pas de solutions dans
Z
\mathbb{Z}
Z
8
n
+
24
=
−
2
⇔
8
n
=
−
2
−
24
⇔
8
n
=
−
26
⇔
n
=
−
26
8
8n+24=-2\Leftrightarrow 8n=-2-24\Leftrightarrow 8n=-26\Leftrightarrow n=-\frac{26}{8}
8
n
+
24
=
−
2
⇔
8
n
=
−
2
−
24
⇔
8
n
=
−
26
⇔
n
=
−
8
26
or :
−
26
8
∉
Z
-\frac{26}{8}\notin \mathbb{Z}
−
8
26
∈
/
Z
donc pas de solutions dans
Z
\mathbb{Z}
Z
8
n
+
24
=
−
1
⇔
8
n
=
−
1
−
24
⇔
8
n
=
−
25
⇔
n
=
−
25
8
8n+24=-1\Leftrightarrow 8n=-1-24\Leftrightarrow 8n=-25\Leftrightarrow n=-\frac{25}{8}
8
n
+
24
=
−
1
⇔
8
n
=
−
1
−
24
⇔
8
n
=
−
25
⇔
n
=
−
8
25
or :
−
25
8
∉
Z
-\frac{25}{8}\notin \mathbb{Z}
−
8
25
∈
/
Z
donc pas de solutions dans
Z
\mathbb{Z}
Z
8
n
+
24
=
1
⇔
8
n
=
1
−
24
⇔
8
n
=
−
23
⇔
n
=
−
23
8
8n+24=1\Leftrightarrow 8n=1-24\Leftrightarrow 8n=-23\Leftrightarrow n=-\frac{23}{8}
8
n
+
24
=
1
⇔
8
n
=
1
−
24
⇔
8
n
=
−
23
⇔
n
=
−
8
23
or :
−
23
8
∉
Z
-\frac{23}{8}\notin \mathbb{Z}
−
8
23
∈
/
Z
donc pas de solutions dans
Z
\mathbb{Z}
Z
8
n
+
24
=
2
⇔
8
n
=
2
−
24
⇔
8
n
=
−
22
⇔
n
=
−
22
8
8n+24=2\Leftrightarrow 8n=2-24\Leftrightarrow 8n=-22\Leftrightarrow n=-\frac{22}{8}
8
n
+
24
=
2
⇔
8
n
=
2
−
24
⇔
8
n
=
−
22
⇔
n
=
−
8
22
or :
−
22
8
∉
Z
-\frac{22}{8}\notin \mathbb{Z}
−
8
22
∈
/
Z
donc pas de solutions dans
Z
\mathbb{Z}
Z
8
n
+
24
=
3
⇔
8
n
=
3
−
24
⇔
8
n
=
−
21
⇔
n
=
−
21
8
8n+24=3\Leftrightarrow 8n=3-24\Leftrightarrow 8n=-21\Leftrightarrow n=-\frac{21}{8}
8
n
+
24
=
3
⇔
8
n
=
3
−
24
⇔
8
n
=
−
21
⇔
n
=
−
8
21
or :
−
21
8
∉
Z
-\frac{21}{8}\notin \mathbb{Z}
−
8
21
∈
/
Z
donc pas de solutions dans
Z
\mathbb{Z}
Z
8
n
+
24
=
6
⇔
8
n
=
6
−
24
⇔
8
n
=
−
18
⇔
n
=
−
18
8
8n+24=6\Leftrightarrow 8n=6-24\Leftrightarrow 8n=-18\Leftrightarrow n=-\frac{18}{8}
8
n
+
24
=
6
⇔
8
n
=
6
−
24
⇔
8
n
=
−
18
⇔
n
=
−
8
18
or :
−
18
8
∉
Z
-\frac{18}{8}\notin \mathbb{Z}
−
8
18
∈
/
Z
donc pas de solutions dans
Z
\mathbb{Z}
Z
Il n'existe pas d'entiers relatifs
n
n
n
tels que
8
n
+
24
8n+24
8
n
+
24
divise
6
6
6
.