Divisibilité dans $\mathbb{Z}$ et congruences

Caractériser la divisibilité : les notions fondamentales\red{\text{les notions fondamentales}} - Exercice 2

8 min
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Question 1

Déterminer les diviseurs de 33 et en déduire les entiers relatifs nn tels que 5n25n-2 divise 33 .

Correction
Les diviseurs de 33 sont D(3)={3;1;1;3}D\left(3\right)=\left\{-3; -1; 1;3\right\} .
Comme 5n25n-2 divise 33 alors 5n25n-2 doit eˆtre eˊgal aˋ un des diviseurs de\red{\text{doit être égal à un des diviseurs de}} 3\red{3} . Cela nous donne donc :
  • 5n2=35n=3+25n=1n=155n-2=-3\Leftrightarrow 5n=-3+2\Leftrightarrow 5n=-1\Leftrightarrow n=\frac{-1}{5} or : 15Z\frac{-1}{5}\notin \mathbb{Z} donc pas de solutions dans Z\mathbb{Z}
  • 5n2=15n=1+25n=1n=155n-2=-1\Leftrightarrow 5n=-1+2\Leftrightarrow 5n=1\Leftrightarrow n=\frac{1}{5} or : 15Z\frac{1}{5}\notin \mathbb{Z} donc pas de solutions dans Z\mathbb{Z}
  • 5n2=15n=1+25n=3n=355n-2=1\Leftrightarrow 5n=1+2\Leftrightarrow 5n=3\Leftrightarrow n=\frac{3}{5} or : 35Z\frac{3}{5}\notin \mathbb{Z} donc pas de solutions dans Z\mathbb{Z}
  • 5n2=35n=3+25n=5n=55n=15n-2=3\Leftrightarrow 5n=3+2\Leftrightarrow 5n=5\Leftrightarrow n=\frac{5}{5}\Leftrightarrow {\color{blue}{n=1}}
  • Il n'existe qu'un seul entier relatif tel que 5n25n-2 divise 33 qui est n=1n=1 .
    Question 2

    Déterminer les diviseurs de 88 et en déduire les entiers relatifs nn tels que 2n102n-10 divise 88 .

    Correction
    Les diviseurs de 88 sont D(8)={8;4;2;1;1;2;4;8}D\left(8\right)=\left\{-8;-4;-2; -1; 1;2;4;8\right\} .
    Comme 2n102n-10 divise 88 alors 2n102n-10 doit eˆtre eˊgal aˋ un des diviseurs de\red{\text{doit être égal à un des diviseurs de}} 8\red{8} . Cela nous donne donc :
  • 2n10=82n=8+102n=2n=22n=12n-10=-8\Leftrightarrow 2n=-8+10\Leftrightarrow 2n=2\Leftrightarrow n=\frac{2}{2} \Leftrightarrow {\color{blue}{n=1}}
  • 2n10=42n=4+102n=6n=62n=32n-10=-4\Leftrightarrow 2n=-4+10\Leftrightarrow 2n=6\Leftrightarrow n=\frac{6}{2} \Leftrightarrow {\color{blue}{n=3}}
  • 2n10=22n=2+102n=8n=82n=42n-10=-2\Leftrightarrow 2n=-2+10\Leftrightarrow 2n=8\Leftrightarrow n=\frac{8}{2} \Leftrightarrow {\color{blue}{n=4}}
  • 2n10=12n=1+102n=9n=922n-10=-1\Leftrightarrow 2n=-1+10\Leftrightarrow 2n=9\Leftrightarrow n=\frac{9}{2} or : 92Z\frac{9}{2}\notin \mathbb{Z} donc pas de solutions dans Z\mathbb{Z}
  • 2n10=12n=1+102n=11n=1122n-10=1\Leftrightarrow 2n=1+10\Leftrightarrow 2n=11\Leftrightarrow n=\frac{11}{2} or : 112Z\frac{11}{2}\notin \mathbb{Z} donc pas de solutions dans Z\mathbb{Z}
  • 2n10=22n=2+102n=12n=122n=62n-10=2\Leftrightarrow 2n=2+10\Leftrightarrow 2n=12\Leftrightarrow n=\frac{12}{2} \Leftrightarrow {\color{blue}{n=6}}
  • 2n10=42n=4+102n=14n=142n=72n-10=4\Leftrightarrow 2n=4+10\Leftrightarrow 2n=14\Leftrightarrow n=\frac{14}{2} \Leftrightarrow {\color{blue}{n=7}}
  • 2n10=82n=8+102n=18n=182n=92n-10=8\Leftrightarrow 2n=8+10\Leftrightarrow 2n=18\Leftrightarrow n=\frac{18}{2} \Leftrightarrow {\color{blue}{n=9}}
  • Les entiers relatifs nn tels que 2n102n-10 divise 88 sont :
    S={1;3;4;6;7;9}S=\left\{1;3;4;6;7;9\right\}
    Question 3

    Déterminer les diviseurs de 66 et en déduire les entiers relatifs nn tels que 8n+248n+24 divise 66 .

    Correction
    Les diviseurs de 66 sont D(3)={6;3;2;1;1;2;3;6}D\left(3\right)=\left\{-6;-3;-2; -1; 1;2;3;6\right\} .
    Comme 8n+248n+24 divise 66 alors 8n+248n+24 doit eˆtre eˊgal aˋ un des diviseurs de\red{\text{doit être égal à un des diviseurs de}} 6\red{6} . Cela nous donne donc :
  • 8n+24=68n=6248n=30n=3088n+24=-6\Leftrightarrow 8n=-6-24\Leftrightarrow 8n=-30\Leftrightarrow n=-\frac{30}{8} or : 308Z-\frac{30}{8}\notin \mathbb{Z} donc pas de solutions dans Z\mathbb{Z}
  • 8n+24=38n=3248n=27n=2788n+24=-3\Leftrightarrow 8n=-3-24\Leftrightarrow 8n=-27\Leftrightarrow n=-\frac{27}{8} or : 278Z-\frac{27}{8}\notin \mathbb{Z} donc pas de solutions dans Z\mathbb{Z}
  • 8n+24=28n=2248n=26n=2688n+24=-2\Leftrightarrow 8n=-2-24\Leftrightarrow 8n=-26\Leftrightarrow n=-\frac{26}{8} or : 268Z-\frac{26}{8}\notin \mathbb{Z} donc pas de solutions dans Z\mathbb{Z}
  • 8n+24=18n=1248n=25n=2588n+24=-1\Leftrightarrow 8n=-1-24\Leftrightarrow 8n=-25\Leftrightarrow n=-\frac{25}{8} or : 258Z-\frac{25}{8}\notin \mathbb{Z} donc pas de solutions dans Z\mathbb{Z}
  • 8n+24=18n=1248n=23n=2388n+24=1\Leftrightarrow 8n=1-24\Leftrightarrow 8n=-23\Leftrightarrow n=-\frac{23}{8} or : 238Z-\frac{23}{8}\notin \mathbb{Z} donc pas de solutions dans Z\mathbb{Z}
  • 8n+24=28n=2248n=22n=2288n+24=2\Leftrightarrow 8n=2-24\Leftrightarrow 8n=-22\Leftrightarrow n=-\frac{22}{8} or : 228Z-\frac{22}{8}\notin \mathbb{Z} donc pas de solutions dans Z\mathbb{Z}
  • 8n+24=38n=3248n=21n=2188n+24=3\Leftrightarrow 8n=3-24\Leftrightarrow 8n=-21\Leftrightarrow n=-\frac{21}{8} or : 218Z-\frac{21}{8}\notin \mathbb{Z} donc pas de solutions dans Z\mathbb{Z}
  • 8n+24=68n=6248n=18n=1888n+24=6\Leftrightarrow 8n=6-24\Leftrightarrow 8n=-18\Leftrightarrow n=-\frac{18}{8} or : 188Z-\frac{18}{8}\notin \mathbb{Z} donc pas de solutions dans Z\mathbb{Z}
  • Il n'existe pas d'entiers relatifs nn tels que 8n+248n+24 divise 66 .