Divisibilité dans $\mathbb{Z}$ et congruences

Caractériser la divisibilité : les notions fondamentales\red{\text{les notions fondamentales}} - Exercice 1

10 min
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Question 1

Déterminer les entiers naturels nn tels que 77 divise n+5n+5 .

Correction
Si 77 divise n+5n+5 alors il existe un entier naturel kk tel que n+5=7kn+5=7k et donc que n=7k5\red{n=7k-5}.
Or nn est un entier naturel, il en résulte donc qu'il faut que 7k507k-5\ge0 autrement dit k57k \ge \frac{5}{7}
Comme 570,71\frac{5}{7}\approx 0,71, il faut donc que k1k\ge 1 car kk est un entier naturel.
Les entiers naturels nn tels que 77 divise n+5n+5 sont alors de la forme n=7k5\red{n=7k-5} avec k1k\ge 1 .
Il s'agit de l'ensemble : S={2;9;16;}S=\left\{2;9;16;\ldots \right\}
Question 2

Déterminer les entiers naturels nn tels que 33 divise n+16n+16 .

Correction
Si 33 divise n+16n+16 alors il existe un entier naturel kk tel que n+16=3kn+16=3k et donc que n=3k16\red{n=3k-16}.
Or nn est un entier naturel, il en résulte donc qu'il faut que 3k1603k-16\ge0 autrement dit k163k \ge \frac{16}{3}
Comme 1635,33\frac{16}{3}\approx 5,33, il faut donc que k6k\ge 6 car kk est un entier naturel.
Les entiers naturels nn tels que 33 divise n+16n+16 sont alors de la forme n=3k16\red{n=3k-16} avec k6k\ge 6 .
Il s'agit de l'ensemble : S={2;5;8;11;}S=\left\{2;5;8;11;\ldots \right\}
Question 3

Montrer que, quelque soit l'entier naturel nn, 2n+72n+7 n'est jamais divisible par 22 .

Correction
Raisonnons par l’absurde :\red{\text{Raisonnons par l'absurde :}}
On suppose que 2n+72n+7 est divisible par 22 . Cela signifie qu'il existe un entier naturel kk tel que 2n+7=2k2n+7=2k.
Ainsi :
7=2k2n7=2k-2n
7=2(kn)7=2\left(k-n\right)
Cette équation est impossible car 77 n'est pas un multiple de 22.
Ainsi 22 ne divise pas 2n+72n+7, autrement dit, quelque soit l'entier naturel nn, 2n+72n+7 n'est jamais divisible par 22 .
Question 4

Déterminer les entiers naturels nn tels que 88 divise n+31n+31 .

Correction
Si 88 divise n+31n+31 alors il existe un entier naturel kk tel que n+31=8kn+31=8k et donc que n=8k31\red{n=8k-31}.
Or nn est un entier naturel, il en résulte donc qu'il faut que 8k3108k-31\ge0 autrement dit k318k \ge \frac{31}{8}
Comme 318=3,875\frac{31}{8}=3,875, il faut donc que k4k\ge 4 car kk est un entier naturel.
Les entiers naturels nn tels que 88 divise n+31n+31 sont alors de la forme n=8k31\red{n=8k-31} avec k4k\ge 4 .
Il s'agit de l'ensemble : S={1;9;17;25}S=\left\{1;9;17;25\ldots \right\}