Caractériser la divisibilité : $$\red{\text{les notions fondamentales}}$$ - Exercice 1

Si $$7$$ divise $$n+5$$ alors il existe un entier naturel $$k$$ tel que $$n+5=7k$$ et donc que $$\red{n=7k-5}$$.
Or $$n$$ est un entier naturel, il en résulte donc qu'il faut que $$7k-5\ge0$$ autrement dit $$k \ge \frac{5}{7}$$
Comme $$\frac{5}{7}\approx 0,71$$, il faut donc que $$k\ge 1$$ car $$k$$ est un entier naturel.
Les entiers naturels $$n$$ tels que $$7$$ divise $$n+5$$ sont alors de la forme $$\red{n=7k-5}$$ avec $$k\ge 1$$ .
Il s'agit de l'ensemble : $$S=\left\{2;9;16;\ldots \right\}$$

Si $$3$$ divise $$n+16$$ alors il existe un entier naturel $$k$$ tel que $$n+16=3k$$ et donc que $$\red{n=3k-16}$$.
Or $$n$$ est un entier naturel, il en résulte donc qu'il faut que $$3k-16\ge0$$ autrement dit $$k \ge \frac{16}{3}$$
Comme $$\frac{16}{3}\approx 5,33$$, il faut donc que $$k\ge 6$$ car $$k$$ est un entier naturel.
Les entiers naturels $$n$$ tels que $$3$$ divise $$n+16$$ sont alors de la forme $$\red{n=3k-16}$$ avec $$k\ge 6$$ .
Il s'agit de l'ensemble : $$S=\left\{2;5;8;11;\ldots \right\}$$

$$\red{\text{Raisonnons par l'absurde :}}$$
On suppose que $$2n+7$$ est divisible par $$2$$ . Cela signifie qu'il existe un entier naturel $$k$$ tel que $$2n+7=2k$$.
Ainsi :
$$7=2k-2n$$
$$7=2\left(k-n\right)$$
Cette équation est impossible car $$7$$ n'est pas un multiple de $$2$$.
Ainsi $$2$$ ne divise pas $$2n+7$$, autrement dit, quelque soit l'entier naturel $$n$$, $$2n+7$$ n'est jamais divisible par $$2$$ .

Si $$8$$ divise $$n+31$$ alors il existe un entier naturel $$k$$ tel que $$n+31=8k$$ et donc que $$\red{n=8k-31}$$.
Or $$n$$ est un entier naturel, il en résulte donc qu'il faut que $$8k-31\ge0$$ autrement dit $$k \ge \frac{31}{8}$$
Comme $$\frac{31}{8}=3,875$$, il faut donc que $$k\ge 4$$ car $$k$$ est un entier naturel.
Les entiers naturels $$n$$ tels que $$8$$ divise $$n+31$$ sont alors de la forme $$\red{n=8k-31}$$ avec $$k\ge 4$$ .
Il s'agit de l'ensemble : $$S=\left\{1;9;17;25\ldots \right\}$$