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Théorèmes de comparaison - Exercice 5

5 min
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Soit (un)\left(u_{n}\right) le suite définie pour tout entier naturel nn par un=2n+9u_{n}=2\sqrt{n+9}
Question 1

Montrer que pour tout entier naturel nn, on a : un≥2nu_{n} \ge 2\sqrt{n}

Correction
Pour tout entier naturel nn, on a :
n+9≥nn+9 \ge n . La fonction x↦xx \mapsto \sqrt{x} est une fonction croissante sur R\mathbb{R} donc l'ordre est conservé. Ainsi :
n+9≥n\sqrt{n+9} \ge \sqrt{n}
2n+9≥2n2\sqrt{n+9} \ge 2\sqrt{n}
Ainsi :
un≥2nu_{n} \ge 2\sqrt{n}

Question 2

En déduire la limite de la suite (un)\left(u_{n}\right) .

Correction
Comme lim⁡n→+∞2n=+∞\lim\limits_{n\to +\infty } 2\sqrt{n}=+\infty et un≥2nu_{n} \ge 2\sqrt{n} alors d'après le theˊoreˋme de comparaison \text{\red{le théorème de comparaison }}
lim⁡n→+∞un=+∞\lim\limits_{n\to +\infty } u_{n}=+\infty