Suites et limites

Théorèmes de comparaison - Exercice 4

5 min
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Soit (un)\left(u_{n}\right) le suite définie, pour tout entier naturel nn non nul, par un=−n2+1n+(−1)nu_{n}=-n^{2}+\frac{1}{n}+\left(-1\right)^{n}
Question 1

Montrer que pour tout entier naturel nn non nul, on a : un≤1−n2+1nu_{n} \le 1-n^{2} +\frac{1}{n}

Correction
Pour tout entier naturel nn non nul , on a :
−1≤(−1)n≤1-1\le \left(-1\right)^{n} \le 1
−1−n2+1n≤(−1)n−n2+1n≤1−n2+1n-1-n^{2} +\frac{1}{n} \le \left(-1\right)^{n} -n^{2} +\frac{1}{n} \le 1-n^{2} +\frac{1}{n}
Ainsi : −1−n2+1n≤un≤1−n2+1n-1-n^{2} +\frac{1}{n} \le u_{n} \le 1-n^{2} +\frac{1}{n}
Pour tout entier naturel nn, nous avons bien
un≤1−n2+1nu_{n} \le 1-n^{2} +\frac{1}{n}

Question 2

En déduire la limite de la suite (un)\left(u_{n}\right) .

Correction
lim⁡n→+∞−n2=−∞lim⁡n→+∞−1+1n=−1}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } -n^{2}} & {=} & {-\infty } \\ {\lim\limits_{n\to +\infty } -1+\frac{1}{n}} & {=} & {-1} \end{array}\right\} par addition\text{\red{par addition}}
lim⁡n→+∞1−n2+1n=−∞\lim\limits_{n\to +\infty } 1-n^{2} +\frac{1}{n}=-\infty

Comme lim⁡n→+∞1−n2+1n=−∞\lim\limits_{n\to +\infty } 1-n^{2} +\frac{1}{n}=-\infty et un≤1−n2+1nu_{n} \le 1-n^{2} +\frac{1}{n} alors d'après le theˊoreˋme de comparaison \text{\red{le théorème de comparaison }}
lim⁡n→+∞un=−∞\lim\limits_{n\to +\infty } u_{n}=-\infty