Théorèmes de comparaison - Exercice 3

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Soit (un)\left(u_{n}\right) le suite définie pour tout entier naturel nn par un=n+1+3cos⁡(n)u_{n}=n+1+3\cos\left(n\right)
Question 1

Montrer que pour tout entier naturel nn, on a : un≥n−2u_{n} \ge n-2

Correction
Pour tout entier naturel nn, on a :
−1≤cos⁡(n)≤1-1\le \cos \left(n\right)\le 1
−3≤3cos⁡(n)≤3-3\le 3\cos \left(n\right)\le 3
−3+n+1≤3cos⁡(n)+n+1≤3+n+1-3+n+1\le 3\cos \left(n\right)+n+1\le 3+n+1
Ainsi : n−2≤un≤n+4n-2\le u_{n} \le n+4
Pour tout entier naturel nn, nous avons bien
un≥n−2u_{n} \ge n-2

Question 2

En déduire la limite de la suite (un)\left(u_{n}\right) .

Correction
Comme lim⁡n→+∞n−2=+∞\lim\limits_{n\to +\infty } n-2=+\infty et un≥n−2u_{n} \ge n-2 alors d'après le theˊoreˋme de comparaison \text{\red{le théorème de comparaison }}
lim⁡n→+∞un=+∞\lim\limits_{n\to +\infty } u_{n}=+\infty

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