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Suites et limites
Théorèmes de comparaison - Exercice 3
5 min
15
Soit
(
u
n
)
\left(u_{n}\right)
(
u
n
)
le suite définie pour tout entier naturel
n
n
n
par
u
n
=
n
+
1
+
3
cos
(
n
)
u_{n}=n+1+3\cos\left(n\right)
u
n
=
n
+
1
+
3
cos
(
n
)
Question 1
Montrer que pour tout entier naturel
n
n
n
, on a :
u
n
≥
n
−
2
u_{n} \ge n-2
u
n
≥
n
−
2
Correction
Pour tout entier naturel
n
n
n
, on a :
−
1
≤
cos
(
n
)
≤
1
-1\le \cos \left(n\right)\le 1
−
1
≤
cos
(
n
)
≤
1
−
3
≤
3
cos
(
n
)
≤
3
-3\le 3\cos \left(n\right)\le 3
−
3
≤
3
cos
(
n
)
≤
3
−
3
+
n
+
1
≤
3
cos
(
n
)
+
n
+
1
≤
3
+
n
+
1
-3+n+1\le 3\cos \left(n\right)+n+1\le 3+n+1
−
3
+
n
+
1
≤
3
cos
(
n
)
+
n
+
1
≤
3
+
n
+
1
Ainsi :
n
−
2
≤
u
n
≤
n
+
4
n-2\le u_{n} \le n+4
n
−
2
≤
u
n
≤
n
+
4
Pour tout entier naturel
n
n
n
, nous avons bien
u
n
≥
n
−
2
u_{n} \ge n-2
u
n
≥
n
−
2
Question 2
En déduire la limite de la suite
(
u
n
)
\left(u_{n}\right)
(
u
n
)
.
Correction
Comme
lim
n
→
+
∞
n
−
2
=
+
∞
\lim\limits_{n\to +\infty } n-2=+\infty
n
→
+
∞
lim
n
−
2
=
+
∞
et
u
n
≥
n
−
2
u_{n} \ge n-2
u
n
≥
n
−
2
alors d'après
le th
e
ˊ
or
e
ˋ
me de comparaison
\text{\red{le théorème de comparaison }}
le th
e
ˊ
or
e
ˋ
me de comparaison
lim
n
→
+
∞
u
n
=
+
∞
\lim\limits_{n\to +\infty } u_{n}=+\infty
n
→
+
∞
lim
u
n
=
+
∞