Suites et limites

Théorèmes de comparaison - Exercice 3

5 min
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Soit (un)\left(u_{n}\right) le suite définie pour tout entier naturel nn par un=n+1+3cos(n)u_{n}=n+1+3\cos\left(n\right)
Question 1

Montrer que pour tout entier naturel nn, on a : unn2u_{n} \ge n-2

Correction
Pour tout entier naturel nn, on a :
1cos(n)1-1\le \cos \left(n\right)\le 1
33cos(n)3-3\le 3\cos \left(n\right)\le 3
3+n+13cos(n)+n+13+n+1-3+n+1\le 3\cos \left(n\right)+n+1\le 3+n+1
Ainsi : n2unn+4n-2\le u_{n} \le n+4
Pour tout entier naturel nn, nous avons bien
unn2u_{n} \ge n-2

Question 2

En déduire la limite de la suite (un)\left(u_{n}\right) .

Correction
Comme limn+n2=+\lim\limits_{n\to +\infty } n-2=+\infty et unn2u_{n} \ge n-2 alors d'après le theˊoreˋme de comparaison \text{\red{le théorème de comparaison }}
limn+un=+\lim\limits_{n\to +\infty } u_{n}=+\infty