Théorème des gendarmes - Exercice 2

Pour tout entier naturel $$n$$ non nul, on sait que :
$$-1\le \left(-1\right)^{n}\le 1$$ équivaut successivement à :
$$-1+5\le 5+\left(-1\right)^{n}\le 5+1$$
$$4\le 5+\left(-1\right)^{n}\le 6$$ , on va ensuite diviser par $$n$$ qui est strictement positif
$$\frac{4}{n} \le \frac{5+\left(-1\right)^{n}}{n} \le \frac{6}{n}$$
$$\frac{4}{n} \le u_{n} \le \frac{6}{n}$$
$$\text{\blue{Dans un premier temps :}}$$
$$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } 4 } & {=} & {4} \\ {\lim\limits_{n\to +\infty } n} & {=} & {+\infty} \end{array}\right\}$$ $$\text{\red{par quotient}}$$
$$\text{\blue{Dans un second temps :}}$$
$$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } 6 } & {=} & {6} \\ {\lim\limits_{n\to +\infty } n} & {=} & {+\infty} \end{array}\right\}$$ $$\text{\red{par quotient}}$$
Nous savons que : $$\frac{4}{n} \le u_{n} \le \frac{6}{n}$$
D'après le théorème des gendarmes

Pour tout entier naturel $$n$$, on sait que :
$$-1\le \left(-1\right)^{n}\le 1$$ équivaut successivement à :
$$-1+2\le 2+\left(-1\right)^{n}\le 1+2$$
$$1\le 2+\left(-1\right)^{n}\le 3$$ , on va ensuite diviser par $$n^{2} +1$$ qui est strictement positif
$$\frac{-1}{n^{2} +1} \le \frac{ 2+\left(-1\right)^{n}}{n^{2} +1} \le \frac{3}{n^{2} +1} ,$$
$$\frac{-1}{n^{2} +1} \le u_{n} \le \frac{3}{n^{2} +1}$$
$$\text{\blue{Dans un premier temps :}}$$
$$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } -1 } & {=} & {-1} \\ {\lim\limits_{n\to +\infty } n^{2} +1} & {=} & {+\infty} \end{array}\right\}$$ $$\text{\red{par quotient}}$$
$$\text{\blue{Dans un second temps :}}$$
$$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } 3} & {=} & {3} \\ {\lim\limits_{n\to +\infty } n^{2} +1} & {=} & {+\infty} \end{array}\right\}$$ $$\text{\red{par quotient}}$$
Nous savons que : $$\frac{-1}{n^{2} +1} \le u_{n} \le \frac{3}{n^{2} +1}$$
D'après le théorème des gendarmes

Pour tout entier naturel $$n$$ non nul, on sait que :
$$-1\le \left(-1\right)^{n} \le 1$$ , on va ensuite diviser par $$\sqrt{n}$$ qui est strictement positif
$$\frac{-1}{\sqrt{n} } \le \frac{\left(-1\right)^{n} }{\sqrt{n} } \le \frac{1}{\sqrt{n} }$$
$$\frac{-1}{\sqrt{n} } +1\le \frac{\left(-1\right)^{n} }{\sqrt{n} } +1\le \frac{1}{\sqrt{n} } +1$$
$$\frac{-1}{\sqrt{n} } +1\le u_{n} \le \frac{1}{\sqrt{n} } +1$$
$$\text{\blue{Dans un premier temps :}}$$
$$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{-1}{\sqrt{n} } } & {=} & {0} \\ {\lim\limits_{n\to +\infty } 1} & {=} & {1} \end{array}\right\}$$ $$\text{\red{par somme}}$$
$$\text{\blue{Dans un second temps :}}$$
$$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{1}{\sqrt{n} } } & {=} & {0} \\ {\lim\limits_{n\to +\infty } 1} & {=} & {1} \end{array}\right\}$$ $$\text{\red{par somme}}$$
Nous savons que : $$\frac{-1}{\sqrt{n} } +1\le u_{n} \le \frac{1}{\sqrt{n} } +1$$
D'après le théorème des gendarmes

Pour tout entier naturel $$n$$, on sait que :
$$-1\le \sin \left(n\right)\le 1$$ équivaut successivement à :
$$-1+n\le \sin \left(n\right)+n\le 1+n$$, on va ensuite diviser par $$2n+1$$ qui est strictement positif
$$\frac{-1+n}{2n+1} \le \frac{\sin \left(n\right)+n}{2n+1} \le \frac{1+n}{2n+1}$$
$$\frac{-1+n}{2n+1} \le u_{n} \le \frac{1+n}{2n+1}$$
$$\text{\blue{Dans un premier temps :}}$$
$$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } -1+n} & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{n\to +\infty } 2n+1} & {=} & {+\infty } \end{array}\right\}$$ on obtient une forme indéterminée $$\frac{\infty }{\infty }$$
$$\red{\text{ On va factoriser le numérateur par le monôme de plus haut degré c'est à dire par }}$$ $$\red{n}$$ $$\red{\text{ et le dénominateur par le monôme de plus haut degré c'est à dire par }}$$ $$\red{n}$$
Il vient alors que :
$$\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{-1+n}{2n+1} =\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{n\left(\frac{-1+n}{n} \right)}{n \left(\frac{2n+1}{n } \right)}$$
$$\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{-1+n}{2n+1} =\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty } \frac{n\left(-\frac{1}{n} +\frac{n}{n} \right)}{n\left(\frac{2n}{n} +\frac{1}{n} \right)}$$
$$\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{-1+n}{2n+1} =\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty } \frac{n\left(-\frac{1}{n} +1\right)}{n\left(2+\frac{1}{n} \right)}$$ . Nous allons maintenant simplifier le numérateur et le dénominateur par $$n$$ .
$$\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{-1+n}{2n+1} =\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{\frac{-1}{n} +1}{2+\frac{1}{n } }$$
$$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{-1}{n} +1} & {=} & {1} \\ {\lim\limits_{n\to +\infty } 2+\frac{1}{n} } & {=} & {2} \end{array}\right\}$$ $$\text{\red{par quotient}}$$ $$\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{\frac{-1}{n} +1}{2+\frac{1}{n} } =\frac{1}{2}$$
Finalement : $$\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{-1+n}{2n+1} =\frac{1}{2}$$
$$\text{\blue{Dans un deuxième temps :}}$$ On effectue la même démarche pour calculer $$\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{1+n}{2n+1}$$ et on obtiendra $$\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{1+n}{2n+1} =\frac{1}{2}$$
En définitive, d'après le théorème des gendarmes

Pour tout entier naturel $$n$$, on sait que :
$$-1\le \cos \left(n\right)\le 1$$ équivaut successivement à :
$$-1+n\le \cos \left(n\right)+n\le 1+n$$, on va ensuite diviser par $$n^{3} +2n+1$$ qui est strictement positif
$$\frac{-1+n}{n^{3} +2n+1} \le \frac{\cos \left(n\right)+n}{n^{3} +2n+1} \le \frac{1+n}{n^{3} +2n+1}$$
$$\frac{-1+n}{n^{3} +2n+1} \le u_{n} \le \frac{1+n}{n^{3} +2n+1}$$
$$\text{\blue{Dans un premier temps :}}$$ Calculons $$\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{-1+n}{n^{3} +2n+1}$$.
$$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } -1+n} & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{n\to +\infty } n+1} & {=} & {+\infty } \end{array}\right\}$$ on obtient une forme indéterminée $$\frac{\infty }{\infty }$$
$$\red{\text{ On va factoriser le numérateur par le monôme de plus haut degré c'est à dire par }}$$ $$\red{n}$$ $$\red{\text{ et le dénominateur par le monôme de plus haut degré c'est à dire par }}$$ $$\red{n^{3}}$$
Il vient alors que :
$$\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{-1+n}{n^{3} +2n+1} =\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{n\left(\frac{-1+n}{n} \right)}{n^{3} \left(\frac{n^{3} +2n+1}{n^{3} } \right)}$$
$$\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{-1+n}{n^{3} +2n+1} =\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty } \frac{n\left(-\frac{1}{n} +\frac{n}{n} \right)}{n^{3} \left(\frac{n^{3} }{n^{3} } +\frac{2n}{n^{3} } +\frac{1}{n^{3} } \right)}$$
$$\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{-1+n}{n^{3} +2n+1} =\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty } \frac{n\left(-\frac{1}{n} +1\right)}{n^{3} \left(1+\frac{2}{n^{2} } +\frac{1}{n^{3} } \right)}$$ . Nous allons maintenant simplifier le numérateur et le dénominateur par $$n$$ .
$$\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{-1+n}{n^{3} +2n+1} =\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{\frac{-1}{n} +1}{n^{2} \left(1+\frac{2}{n^{2} } +\frac{1}{n^{3} } \right)}$$
$$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{-1}{n} +1} & {=} & {1} \\ {\lim\limits_{n\to +\infty } n^{2} \left(1+\frac{2}{n^{2} } +\frac{1}{n^{3} } \right)} & {=} & {+\infty } \end{array}\right\}$$ $$\text{\red{par quotient}}$$ $$\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{\frac{-1}{n} +1}{n^{2} \left(1+\frac{2}{n^{2} } +\frac{1}{n^{3} } \right)} =0$$
Finalement : $$\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{-1+n}{n^{3} +2n+1} =0$$
$$\text{\blue{Dans un deuxième temps :}}$$ On effectue la même démarche pour calculer $$\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{1+n}{n^{3} +2n+1}$$ et on obtiendra $$\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{1+n}{n^{3} +2n+1} =0$$
D'après le théorème des gendarmes

Pour tout entier naturel $$n$$ non nul, on sait que :
$$-1\le \sin \left(n\right)\le 1$$ équivaut successivement à :
$$\frac{-1}{n+1} \le \frac{\sin \left(n\right)}{n+1} \le \frac{1}{n+1}$$ . On divise par $$n+1$$ qui est positif donc on ne change pas le sens de l'inégalité.
$$2+\frac{-1}{n+1} \le 2+\frac{\sin \left(n\right)}{n+1} \le2+\frac{1}{n+1}$$
$$2+\frac{-1}{n+1} \le u_{n} \le2+\frac{1}{n+1}$$
$$\text{\blue{D'une part :}}$$ $$\lim\limits_{n\to +\infty } 2+\frac{-1}{n+1} =2$$ car $$\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{-1}{n+1} =0$$
$$\text{\blue{D'autre part :}}$$ $$\lim\limits_{n\to +\infty } 2+\frac{1}{n+1} =2$$ car $$\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{1}{n+1} =0$$
D'après le théorème des gendarmes