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Suites arithmético-géométriques - Exercice 7

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Soit (un)\left(u_{n} \right) la suite définie par u0=1u_{0} =1 et pour tout entier naturel nn, on a un+1=0,75un−0,95u_{n+1} =0,75u_{n} -0,95
Soit vn=un+3,8v_{n} =u_{n} +3,8
Question 1

Démontrer que la suite (vn)\left(v_{n} \right) est géométrique de raison 0,750,75.
Préciser v0v_{0} .

Correction
vn=un+3,8v_{n} =u_{n} +3,8
vn+1=un+1+3,8v_{n+1} =u_{n+1} +3,8
vn+1=0,75un−0,95+3,8v_{n+1} =0,75u_{n} -0,95+3,8
vn+1=0,75un+2,85v_{n+1} =0,75u_{n} +2,85
vn+1=0,75un+2,85v_{n+1} ={\color{blue}0,75}u_{n} +2,85 . Nous allons factoriser l'expression par 0,75{\color{blue}0,75} .
vn+1=0,75(un+2,850,75)v_{n+1} =0,75\left(u_{n} +\frac{2,85}{0,75} \right)
vn+1=0,75(un+3,8)v_{n+1} =0,75\left({\color{red} u_{n} +3,8}\right) . Or : vn=un+3,8{\color{red}v_{n} = u_{n} +3,8}
vn+1=0,75vnv_{n+1} =0,75v_{n}
Ainsi la suite (vn)\left(v_{n} \right) est géométrique de raison q=0,75q=0,75 et de premier terme v0=u0+3,8=1+3,8v_{0} =u_{0} +3,8=1+3,8 donc v0=4,8v_{0} =4,8
Question 2

Exprimer, pour tout entier naturel nn, vnv_{n} en fonction de nn.

Correction
  • L'expression de vnv_{n} en fonction de nn est donnée par la formule
    vn=v0×qnv_{n} =v_{0} \times q^{n}
Ainsi : vn=4,8×0,75nv_{n} =4,8\times 0,75^{n}
Question 3

En déduire que pour tout entier naturel nn, un=4,8×0,75n−3,8u_{n} =4,8\times 0,75^{n} -3,8.

Correction
On sait que : vn=un+3,8v_{n} =u_{n} +3,8 donc : vn−3,8=unv_{n} -3,8=u_{n}
Il vient alors que : un=4,8×0,75n−3,8u_{n} =4,8\times 0,75^{n} -3,8
Question 4

Calculer la limite de la suite (un)\left(u_{n} \right)

Correction
  • Si 0<q<10<q<1 alors lim⁡n→+∞qn=0\lim\limits_{n\to +\infty } q^{n} =0.
  • Si q>1 q >1 alors lim⁡n→+∞qn=+∞\lim\limits_{n\to +\infty } q^{n} =+\infty.
Comme 0<0,75<10< 0,75< 1 alors :
lim⁡n→+∞(0,75)n=0\lim\limits_{n\to +\infty } \left(0,75\right)^{n} =0
lim⁡n→+∞4,8×(0,75)n=0\lim\limits_{n\to +\infty } 4,8\times \left(0,75\right)^{n} =0
lim⁡n→+∞4,8×(0,75)n−3,8=−3,8\lim\limits_{n\to +\infty } 4,8\times \left(0,75\right)^{n} -3,8=-3,8
Ainsi :
lim⁡n→+∞un=−3,8\lim\limits_{n\to +\infty } u_{n} =-3,8

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