Suites arithmético-géométriques - Exercice 7

$$v_{n} =u_{n} +3,8$$
$$v_{n+1} =u_{n+1} +3,8$$
$$v_{n+1} =0,75u_{n} -0,95+3,8$$
$$v_{n+1} =0,75u_{n} +2,85$$
$$v_{n+1} ={\color{blue}0,75}u_{n} +2,85$$ . Nous allons factoriser l'expression par $${\color{blue}0,75}$$ .
$$v_{n+1} =0,75\left(u_{n} +\frac{2,85}{0,75} \right)$$
$$v_{n+1} =0,75\left({\color{red} u_{n} +3,8}\right)$$ . Or : $${\color{red}v_{n} = u_{n} +3,8}$$
$$v_{n+1} =0,75v_{n}$$
Ainsi la suite $$\left(v_{n} \right)$$ est géométrique de raison $$q=0,75$$ et de premier terme $$v_{0} =u_{0} +3,8=1+3,8$$ donc $$v_{0} =4,8$$

Ainsi : $$v_{n} =4,8\times 0,75^{n}$$

On sait que : $$v_{n} =u_{n} +3,8$$ donc : $$v_{n} -3,8=u_{n}$$
Il vient alors que : $$u_{n} =4,8\times 0,75^{n} -3,8$$

Comme $$0< 0,75< 1$$ alors :
$$\lim\limits_{n\to +\infty } \left(0,75\right)^{n} =0$$
$$\lim\limits_{n\to +\infty } 4,8\times \left(0,75\right)^{n} =0$$
$$\lim\limits_{n\to +\infty } 4,8\times \left(0,75\right)^{n} -3,8=-3,8$$
Ainsi :