Suites et limites

Suites arithmético-géométriques - Exercice 6

15 min
25
Soit (un)\left(u_{n} \right) la suite définie par u0=1u_{0} =1 et pour tout entier naturel nn, on a un+1=0,6un+0,5u_{n+1} =0,6u_{n} +0,5
Soit vn=un54v_{n} =u_{n} -\frac{5}{4}
Question 1

Démontrer que la suite (vn)\left(v_{n} \right) est géométrique de raison 0,60,6.
Préciser v0v_{0} .

Correction
vn=un54v_{n} =u_{n} -\frac{5}{4}
vn+1=un+154v_{n+1} =u_{n+1} -\frac{5}{4}
vn+1=0,6un+0,554v_{n+1} =0,6u_{n} +0,5-\frac{5}{4}
vn+1=0,6un34v_{n+1} =0,6u_{n} -\frac{3}{4}
vn+1=0,6un34v_{n+1} ={\color{blue}0,6}u_{n} -\frac{3}{4} . Nous allons factoriser l'expression par 0,6{\color{blue}0,6} .
vn+1=0,6(un(34)0,6)v_{n+1} =0,6\left(u_{n} -\frac{\left(\frac{3}{4} \right)}{0,6} \right)
vn+1=0,6(un54)v_{n+1} =0,6\left({\color{red} u_{n} -\frac{5}{4}}\right) . Or : vn=un54{\color{red}v_{n} = u_{n} -\frac{5}{4}}
vn+1=0,6vnv_{n+1} =0,6v_{n}

Ainsi la suite (vn)\left(v_{n} \right) est géométrique de raison q=0,6q=0,6 et de premier terme v0=u054=154=14v_{0} =u_{0} -\frac{5}{4} =1-\frac{5}{4} =-\frac{1}{4} donc v0=14v_{0} =-\frac{1}{4}
Question 2

Exprimer, pour tout entier naturel nn, vnv_{n} en fonction de nn.

Correction
  • L'expression de vnv_{n} en fonction de nn est donnée par la formule
    vn=v0×qnv_{n} =v_{0} \times q^{n}
Ainsi : vn=(14)×0,6nv_{n} =\left(-\frac{1}{4} \right)\times 0,6^{n}
Question 3

En déduire que pour tout entier naturel nn, un=(14)×0,6n+54u_{n} =\left(-\frac{1}{4} \right)\times 0,6^{n} +\frac{5}{4}

Correction
On sait que : vn=un54v_{n} =u_{n} -\frac{5}{4} donc : vn+54=unv_{n} +\frac{5}{4} =u_{n}
Il vient alors que : un=(14)×0,6n+54u_{n} =\left(-\frac{1}{4} \right)\times 0,6^{n} +\frac{5}{4}
Question 4

Calculer la limite de la suite (un)\left(u_{n} \right)

Correction
  • Si 0<q<10<q<1 alors limn+qn=0\lim\limits_{n\to +\infty } q^{n} =0.
  • Si q>1 q >1 alors limn+qn=+\lim\limits_{n\to +\infty } q^{n} =+\infty.
Comme 0<0,6<10< 0,6< 1 alors :
limn+(0,6)n=0\lim\limits_{n\to +\infty } \left(0,6\right)^{n} =0
limn+(14)×(0,6)n=0\lim\limits_{n\to +\infty } \left(-\frac{1}{4} \right)\times \left(0,6\right)^{n} =0
limn+(14)×(0,6)n+54=54\lim\limits_{n\to +\infty } \left(-\frac{1}{4} \right)\times \left(0,6\right)^{n} +\frac{5}{4} =\frac{5}{4}
Ainsi :
limn+un=54\lim\limits_{n\to +\infty } u_{n} =\frac{5}{4}