Suites arithmético-géométriques - Exercice 6

$$v_{n} =u_{n} -\frac{5}{4}$$
$$v_{n+1} =u_{n+1} -\frac{5}{4}$$
$$v_{n+1} =0,6u_{n} +0,5-\frac{5}{4}$$
$$v_{n+1} =0,6u_{n} -\frac{3}{4}$$
$$v_{n+1} ={\color{blue}0,6}u_{n} -\frac{3}{4}$$ . Nous allons factoriser l'expression par $${\color{blue}0,6}$$ .
$$v_{n+1} =0,6\left(u_{n} -\frac{\left(\frac{3}{4} \right)}{0,6} \right)$$
$$v_{n+1} =0,6\left({\color{red} u_{n} -\frac{5}{4}}\right)$$ . Or : $${\color{red}v_{n} = u_{n} -\frac{5}{4}}$$

Ainsi la suite $$\left(v_{n} \right)$$ est géométrique de raison $$q=0,6$$ et de premier terme $$v_{0} =u_{0} -\frac{5}{4} =1-\frac{5}{4} =-\frac{1}{4}$$ donc $$v_{0} =-\frac{1}{4}$$

Ainsi : $$v_{n} =\left(-\frac{1}{4} \right)\times 0,6^{n}$$

On sait que : $$v_{n} =u_{n} -\frac{5}{4}$$ donc : $$v_{n} +\frac{5}{4} =u_{n}$$
Il vient alors que : $$u_{n} =\left(-\frac{1}{4} \right)\times 0,6^{n} +\frac{5}{4}$$

Comme $$0< 0,6< 1$$ alors :
$$\lim\limits_{n\to +\infty } \left(0,6\right)^{n} =0$$
$$\lim\limits_{n\to +\infty } \left(-\frac{1}{4} \right)\times \left(0,6\right)^{n} =0$$
$$\lim\limits_{n\to +\infty } \left(-\frac{1}{4} \right)\times \left(0,6\right)^{n} +\frac{5}{4} =\frac{5}{4}$$
Ainsi :