Suites arithmético-géométriques - Exercice 5

$$v_{n} =u_{n} -\frac{1}{2}$$
On va écrire maintenant l'expression au rang $$n+1$$ , il vient alors que :
$$v_{n+1} =u_{n+1} -\frac{1}{2}$$
On connait l'expression de $$u_{n+1}$$, on la remplace et on obtient :
$$v_{n+1} =0,1u_{n} +0,45-\frac{1}{2}$$
$$v_{n+1} =0,1u_{n} -0,05$$
$$v_{n+1} ={\color{blue}0,1}u_{n} -0,05$$ . Nous allons factoriser l'expression par $${\color{blue}0,1}$$ .
$$v_{n+1} =0,1\left(u_{n} -\frac{0,05}{0,1} \right)$$
$$v_{n+1} =0,1\left({\color{red} u_{n} -\frac{1}{2}}\right)$$ . Or : $${\color{red}v_{n} = u_{n} -\frac{1}{2}}$$

Ainsi la suite $$\left(v_{n} \right)$$ est géométrique de raison $$q=0,1$$ et de premier terme $$v_{0} =u_{0} -\frac{1}{2} =-2-\frac{1}{2}$$ donc $$v_{0} =-\frac{5}{2}$$

Ainsi : $$v_{n} =\left(-\frac{5}{2} \right)\times \left(0,1\right)^{n}$$

On sait que : $$v_{n} =u_{n} -\frac{1}{2}$$ donc : $$v_{n} +\frac{1}{2} =u_{n}$$
Il vient alors que : $$u_{n} =\left(-\frac{5}{2} \right)\times \left(0,1\right)^{n} +\frac{1}{2}$$

Comme $$0< 0,1< 1$$ alors :
$$\lim\limits_{n\to +\infty } \left(0,1\right)^{n} =0$$
$$\lim\limits_{n\to +\infty } \left(-\frac{5}{2} \right)\times \left(0,1\right)^{n} =0$$
$$\lim\limits_{n\to +\infty } \left(-\frac{5}{2} \right)\times \left(0,1\right)^{n} +\frac{1}{2} =\frac{1}{2}$$
Ainsi :