Suites arithmético-géométriques - Exercice 4

$$v_{n} =u_{n} +4$$
On va écrire maintenant l'expression au rang $$n+1$$ , il vient alors que :
$$v_{n+1} =u_{n+1} +4$$
On connait l'expression de $$u_{n+1}$$, on la remplace et on obtient :
$$v_{n+1} =0,9u_{n} -0,4+4$$
$$v_{n+1} =0,9u_{n} +3,6$$
$$v_{n+1} ={\color{blue}0,9}u_{n} +3,6$$ . Nous allons factoriser l'expression par $${\color{blue}0,9}$$ .
$$v_{n+1} =0,9\left(u_{n} +\frac{3,6}{0,9} \right)$$
$$v_{n+1} =0,9\left({\color{red} u_{n} +4}\right)$$ . Or : $${\color{red}v_{n} = u_{n} +4}$$

Ainsi la suite $$\left(v_{n} \right)$$ est géométrique de raison $$q=0,9$$ et de premier terme $$v_{0} =u_{0} +4=3+4$$ donc $$v_{0} =7$$

Ainsi : $$v_{n} =7\times 0,9^{n}$$

On sait que : $$v_{n} =u_{n} +4$$ donc : $$v_{n} -4=u_{n}$$
Il vient alors que : $$u_{n} =7\times 0,9^{n} -4$$

Comme $$0< 0,9< 1$$ alors :
$$\lim\limits_{n\to +\infty } \left(0,9\right)^{n} =0$$
$$\lim\limits_{n\to +\infty } 7\times \left(0,9\right)^{n} =0$$
$$\lim\limits_{n\to +\infty } 7\times \left(0,9\right)^{n} -4=-4$$
Ainsi :