Suites arithmético-géométriques - Exercice 2

15 min
20
Soit (un)\left(u_{n} \right) la suite définie par u0=5u_{0} =5 et pour tout entier naturel nn, on a un+1=0,5un+3u_{n+1} =0,5u_{n} +3
Soit vn=un−6v_{n} =u_{n} -6
Question 1

Démontrer que la suite (vn)\left(v_{n} \right) est géométrique de raison 0,50,5.
Préciser v0v_{0} .

Correction
vn=un−6v_{n} =u_{n} -6
On va écrire maintenant l'expression au rang n+1n+1 , il vient alors que :
vn+1=un+1−6v_{n+1} =u_{n+1} -6
vn+1=0,5un+3−6v_{n+1} =0,5u_{n} +3-6
vn+1=0,5un−3v_{n+1} =0,5u_{n} -3
vn+1=0,5un−3v_{n+1} ={\color{blue}0,5}u_{n} -3 . Nous allons factoriser l'expression par 0,5{\color{blue}0,5} .
vn+1=0,5(un−30,5)v_{n+1} =0,5\left(u_{n} -\frac{3}{0,5} \right)
vn+1=0,5(un−6)v_{n+1} =0,5\left({\color{red} u_{n} -6}\right) . Or : vn=un−6{\color{red}v_{n} = u_{n} -6}
vn+1=0,5vnv_{n+1} =0,5v_{n}

Ainsi la suite (vn)\left(v_{n} \right) est géométrique de raison q=0,5q=0,5 et de premier terme v0=u0−6=5−6v_{0} =u_{0} -6=5-6 donc v0=−1v_{0} =-1
Question 2

Exprimer, pour tout entier naturel nn, vnv_{n} en fonction de nn.

Correction
  • L'expression de vnv_{n} en fonction de nn est donnée par la formule
    vn=v0×qnv_{n} =v_{0} \times q^{n}
Ainsi : vn=(−1)×0,5nv_{n} =\left(-1\right)\times 0,5^{n}
Question 3

En déduire que pour tout entier naturel nn, un=(−1)×0,5n+6u_{n} =\left(-1\right)\times 0,5^{n} +6.

Correction
On sait que : vn=un−6v_{n} =u_{n} -6 donc : vn+6=unv_{n} +6=u_{n}
Il vient alors que : un=(−1)×0,5n+6u_{n} =\left(-1\right)\times 0,5^{n} +6
Question 4

Calculer la limite de la suite (un)\left(u_{n} \right)

Correction
  • Si 0<q<10<q<1 alors lim⁡n→+∞qn=0\lim\limits_{n\to +\infty } q^{n} =0.
  • Si q>1 q >1 alors lim⁡n→+∞qn=+∞\lim\limits_{n\to +\infty } q^{n} =+\infty.
Comme 0<0,5<10< 0,5< 1 alors :
lim⁡n→+∞(0,5)n=0\lim\limits_{n\to +\infty } \left(0,5\right)^{n} =0
lim⁡n→+∞(−1)×(0,5)n=0\lim\limits_{n\to +\infty } \left(-1\right)\times \left(0,5\right)^{n} =0
lim⁡n→+∞(−1)×(0,5)n+6=6\lim\limits_{n\to +\infty } \left(-1\right)\times \left(0,5\right)^{n} +6=6
Ainsi :
lim⁡n→+∞un=6\lim\limits_{n\to +\infty } u_{n} =6

Signaler une erreur

Aide-nous à améliorer nos contenus en signalant les erreurs ou problèmes que tu penses avoir trouvés.

Connecte-toi ou crée un compte pour signaler une erreur.