Suites arithmético-géométriques - Exercice 2

$$v_{n} =u_{n} -6$$
On va écrire maintenant l'expression au rang $$n+1$$ , il vient alors que :
$$v_{n+1} =u_{n+1} -6$$
$$v_{n+1} =0,5u_{n} +3-6$$
$$v_{n+1} =0,5u_{n} -3$$
$$v_{n+1} ={\color{blue}0,5}u_{n} -3$$ . Nous allons factoriser l'expression par $${\color{blue}0,5}$$ .
$$v_{n+1} =0,5\left(u_{n} -\frac{3}{0,5} \right)$$
$$v_{n+1} =0,5\left({\color{red} u_{n} -6}\right)$$ . Or : $${\color{red}v_{n} = u_{n} -6}$$

Ainsi la suite $$\left(v_{n} \right)$$ est géométrique de raison $$q=0,5$$ et de premier terme $$v_{0} =u_{0} -6=5-6$$ donc $$v_{0} =-1$$

Ainsi : $$v_{n} =\left(-1\right)\times 0,5^{n}$$

On sait que : $$v_{n} =u_{n} -6$$ donc : $$v_{n} +6=u_{n}$$
Il vient alors que : $$u_{n} =\left(-1\right)\times 0,5^{n} +6$$

Comme $$0< 0,5< 1$$ alors :
$$\lim\limits_{n\to +\infty } \left(0,5\right)^{n} =0$$
$$\lim\limits_{n\to +\infty } \left(-1\right)\times \left(0,5\right)^{n} =0$$
$$\lim\limits_{n\to +\infty } \left(-1\right)\times \left(0,5\right)^{n} +6=6$$
Ainsi :