Suites et limites

Suites arithmético-géométriques - Exercice 1

15 min
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Soit (un)\left(u_{n} \right) la suite définie par u0=8u_{0} =8 et pour tout entier naturel nn, on a un+1=0,85un+1,8u_{n+1} =0,85u_{n} +1,8
Soit (vn)\left(v_{n} \right) la suite définie vn=un12v_{n} =u_{n} -12
Question 1

Démontrer que la suite (vn)\left(v_{n} \right) est géométrique de raison 0,850,85.
Préciser v0v_{0} .

Correction
vn=un12v_{n} =u_{n} -12
On va écrire maintenant l'expression au rang n+1n+1 , il vient alors que :
vn+1=un+112v_{n+1} =u_{n+1} -12
On connait l'expression de un+1u_{n+1} , on la remplace et on obtient :
vn+1=0,85un+1,812v_{n+1} =0,85u_{n} +1,8-12
vn+1=0,85un10,2v_{n+1} =0,85u_{n} -10,2
vn+1=0,85un10,2v_{n+1} ={\color{blue}0,85}u_{n} -10,2 . Nous allons factoriser l'expression par 0,85{\color{blue}0,85} .
vn+1=0,85(un10,20,85)v_{n+1} =0,85\left(u_{n} -\frac{10,2}{0,85} \right)
vn+1=0,85(un12)v_{n+1} =0,85\left({\color{red} u_{n} -12}\right) . Or : vn=un12{\color{red}v_{n} = u_{n} -12}
vn+1=0,85vnv_{n+1} =0,85v_{n}

Ainsi la suite (vn)\left(v_{n} \right) est géométrique de raison q=0,85q=0,85 et de premier terme v0=u012=812v_{0} =u_{0} -12=8-12 donc v0=4v_{0} =-4
Question 2

Exprimer, pour tout entier naturel nn, vnv_{n} en fonction de nn.

Correction
  • L'expression de vnv_{n} en fonction de nn est donnée par la formule
    vn=v0×qnv_{n} =v_{0} \times q^{n}
Ainsi :
vn=(4)×0,85nv_{n} =\left(-4\right)\times 0,85^{n}
Question 3

En déduire que pour tout entier naturel nn, un=(4)×0,85n+12u_{n} =\left(-4\right)\times 0,85^{n} +12.

Correction
On sait que : vn=un12v_{n} =u_{n} -12 donc : vn+12=unv_{n} +12=u_{n}
Il vient alors que :
un=(4)×0,85n+12u_{n} =\left(-4\right)\times 0,85^{n} +12
Question 4

Calculer la limite de la suite (un)\left(u_{n} \right)

Correction
  • Si 0<q<10<q<1 alors limn+qn=0\lim\limits_{n\to +\infty } q^{n} =0.
  • Si q>1 q >1 alors limn+qn=+\lim\limits_{n\to +\infty } q^{n} =+\infty.
Comme 0<0,85<10< 0,85<1 alors :
limn+(0,85)n=0\lim\limits_{n\to +\infty } \left(0,85\right)^{n} =0
limn+(4)×(0,85)n=0\lim\limits_{n\to +\infty } \left(-4\right)\times \left(0,85\right)^{n} =0
limn+(4)×(0,85)n+12=12\lim\limits_{n\to +\infty } \left(-4\right)\times \left(0,85\right)^{n} +12=12
Ainsi :
limn+un=12\lim\limits_{n\to +\infty } u_{n} =12