Savoir calculer les limites de la forme lim⁡n→+∞a×qn+b{\color{red}{\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty } a\times q^{n}+b}} - Exercice 2

10 min
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Déterminer les limites des suites (un)\left(u_{n} \right) suivantes :
Question 1

un=2n−3nu_{n} =2^{n} -3^{n}

Correction
  • Si 0<q<10<q<1 alors lim⁡n→+∞qn=0\lim\limits_{n\to +\infty } q^{n} =0.
  • Si q>1 q >1 alors lim⁡n→+∞qn=+∞\lim\limits_{n\to +\infty } q^{n} =+\infty.
Comme 2>12>1 alors : lim⁡n→+∞2n=+∞\lim\limits_{n\to +\infty } 2^{n} =+\infty
Comme 3>13>1 alors : lim⁡n→+∞3n=+∞\lim\limits_{n\to +\infty } 3^{n} =+\infty
Ainsi :
lim⁡n→+∞2n=+∞lim⁡n→+∞−3n=−∞}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } 2^{n} } & {=} & {+\infty} \\ {\lim\limits_{n\to +\infty }-3^{n}} & {=} & {-\infty} \end{array}\right\} par somme , on une forme indéterminée.
Pour relever l'indétermination, on va donc factoriser l'expression par 3n3^{n} car au voisinage de +∞+\infty le terme 3n3^{n} est beaucoup plus grand que 2n2^{n}.
Ainsi :
lim⁡n→+∞2n−3n=lim⁡n→+∞3n(2n−3n3n)\lim\limits_{n\to +\infty } 2^{n}-3^{n}=\lim\limits_{n\to +\infty } 3^{n} \left(\frac{2^{n} -3^{n} }{3^{n} } \right)
lim⁡n→+∞2n−3n=lim⁡n→+∞3n(2n3n−3n3n)\lim\limits_{n\to +\infty } 2^{n}-3^{n}=\lim\limits_{n\to +\infty } 3^{n} \left(\frac{2^{n} }{3^{n} } -\frac{3^{n} }{3^{n} } \right)
lim⁡n→+∞2n−3n=lim⁡n→+∞3n(2n3n−1)\lim\limits_{n\to +\infty } 2^{n}-3^{n}=\lim\limits_{n\to +\infty } 3^{n} \left(\frac{2^{n} }{3^{n} } -1\right)
lim⁡n→+∞2n−3n=lim⁡n→+∞3n[(23)n−1]\lim\limits_{n\to +\infty } 2^{n}-3^{n}=\lim\limits_{n\to +\infty } 3^{n} \left[\left(\frac{2}{3} \right)^{n} -1\right] car : anbn=(ab)n{\color{blue}{\frac{a^{n} }{b^{n} } =\left(\frac{a}{b} \right)^{n}}}

Il en résulte que :
lim⁡n→+∞(23)n−1=−1lim⁡n→+∞3n=+∞}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } \left(\frac{2}{3}\right)^{n}-1 } & {=} & {-1} \\ {\lim\limits_{n\to +\infty } 3^{n}} & {=} & {+\infty} \end{array}\right\} par produit\red{\text{par produit}} lim⁡n→+∞3n[(23)n−1]=−∞\lim\limits_{n\to +\infty } 3^{n} \left[\left(\frac{2}{3} \right)^{n} -1\right] = -\infty
Finalement :
lim⁡n→+∞2n−3n=−∞\lim\limits_{n\to +\infty } 2^{n} -3^{n}=-\infty

Question 2

un=4n+13n−5u_{n} =\frac{4^{n} +1}{3^{n} -5}

Correction
  • Si 0<q<10<q<1 alors lim⁡n→+∞qn=0\lim\limits_{n\to +\infty } q^{n} =0.
  • Si q>1 q >1 alors lim⁡n→+∞qn=+∞\lim\limits_{n\to +\infty } q^{n} =+\infty.
Comme 4>14>1 alors : lim⁡n→+∞4n=+∞\lim\limits_{n\to +\infty } 4^{n} =+\infty
Comme 3>13>1 alors : lim⁡n→+∞3n=+∞\lim\limits_{n\to +\infty } 3^{n} =+\infty
Ainsi : lim⁡n→+∞4n+1=+∞lim⁡n→+∞3n−5=+∞}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } 4^{n} +1} & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{n\to +\infty } 3^{n} -5} & {=} & {+\infty } \end{array}\right\} par quotient, nous avons une forme indéterminée.
Pour relever l'indétermination, on va donc factoriser le numérateur par 4n4^{n} et le dénominateur par 3n3^{n}.
Il vient alors que :
lim⁡n→+∞4n+13n−5=lim⁡n→+∞4n×(4n+14n)3n×(3n−53n)\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{4^{n} +1}{3^{n} -5}=\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{4^{n} \times \left(\frac{4^{n} +1}{4^{n} } \right)}{3^{n} \times \left(\frac{3^{n} -5}{3^{n} } \right)}
lim⁡n→+∞4n+13n−5=lim⁡n→+∞4n3n×(4n+14n)(3n−53n)\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{4^{n} +1}{3^{n} -5}=\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{4^{n} }{3^{n} } \times \frac{\left(\frac{4^{n} +1}{4^{n} } \right)}{\left(\frac{3^{n} -5}{3^{n} } \right)}
lim⁡n→+∞4n+13n−5=lim⁡n→+∞(43)n×(4n+14n)(3n−53n)\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{4^{n} +1}{3^{n} -5}=\lim\limits_{n\to +\infty } \left(\frac{4}{3} \right)^{n} \times \frac{\left(\frac{4^{n} +1}{4^{n} } \right)}{\left(\frac{3^{n} -5}{3^{n} } \right)} car : anbn=(ab)n{\color{blue}{\frac{a^{n} }{b^{n} } =\left(\frac{a}{b} \right)^{n}}}
lim⁡n→+∞4n+13n−5=lim⁡n→+∞(43)n×(4n4n+14n)(3n3n−53n)\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{4^{n} +1}{3^{n} -5}=\lim\limits_{n\to +\infty } \left(\frac{4}{3} \right)^{n} \times \frac{\left(\frac{4^{n} }{4^{n} } +\frac{1}{4^{n} } \right)}{\left(\frac{3^{n} }{3^{n} } -\frac{5}{3^{n} } \right)}
lim⁡n→+∞4n+13n−5=lim⁡n→+∞(43)n×(1+14n)(1−53n)\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{4^{n} +1}{3^{n} -5}=\lim\limits_{n\to +\infty }\left(\frac{4}{3} \right)^{n} \times \frac{\left(1+\frac{1}{4^{n} } \right)}{\left(1-\frac{5}{3^{n} } \right)}

D’une part :\red{\text{D'une part :}}
Comme 43>1\frac{4}{3}>1 alors : lim⁡n→+∞(43)n=+∞\lim\limits_{n\to +\infty } \left(\frac{4}{3} \right)^{n} =+\infty
D’autre part :\red{\text{D'autre part :}}
lim⁡n→+∞1+14n=1lim⁡n→+∞1−53n=1}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } 1+\frac{1}{4^{n} }} & {=} & {1} \\ {\lim\limits_{n\to +\infty } 1-\frac{5}{3^{n} }} & {=} & {1} \end{array}\right\} donc par quotient : lim⁡n→+∞(1+14n)(1−53n)=1\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{\left(1+\frac{1}{4^{n} } \right)}{\left(1-\frac{5}{3^{n} } \right)} = 1
D'où : lim⁡n→+∞(43)n×(1+14n)(1−53n)=+∞\lim\limits_{n\to +\infty } \left(\frac{4}{3} \right)^{n} \times \frac{\left(1+\frac{1}{4^{n} } \right)}{\left(1-\frac{5}{3^{n} } \right)}=+\infty

Finalement :
lim⁡n→+∞4n+13n−5=+∞\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{4^{n} +1}{3^{n} -5}=+\infty

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