Savoir calculer les limites de la forme $${\color{red}{\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty } a\times q^{n}+b}}$$ - Exercice 2

Comme $$2>1$$ alors : $$\lim\limits_{n\to +\infty } 2^{n} =+\infty$$
Comme $$3>1$$ alors : $$\lim\limits_{n\to +\infty } 3^{n} =+\infty$$
Ainsi :
$$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } 2^{n} } & {=} & {+\infty} \\ {\lim\limits_{n\to +\infty }-3^{n}} & {=} & {-\infty} \end{array}\right\}$$ par somme , on une forme indéterminée.
Pour relever l'indétermination, on va donc factoriser l'expression par $$3^{n}$$ car au voisinage de $$+\infty$$ le terme $$3^{n}$$ est beaucoup plus grand que $$2^{n}$$.
Ainsi :
$$\lim\limits_{n\to +\infty } 2^{n}-3^{n}=\lim\limits_{n\to +\infty } 3^{n} \left(\frac{2^{n} -3^{n} }{3^{n} } \right)$$
$$\lim\limits_{n\to +\infty } 2^{n}-3^{n}=\lim\limits_{n\to +\infty } 3^{n} \left(\frac{2^{n} }{3^{n} } -\frac{3^{n} }{3^{n} } \right)$$
$$\lim\limits_{n\to +\infty } 2^{n}-3^{n}=\lim\limits_{n\to +\infty } 3^{n} \left(\frac{2^{n} }{3^{n} } -1\right)$$
$$\lim\limits_{n\to +\infty } 2^{n}-3^{n}=\lim\limits_{n\to +\infty } 3^{n} \left[\left(\frac{2}{3} \right)^{n} -1\right]$$ car : $${\color{blue}{\frac{a^{n} }{b^{n} } =\left(\frac{a}{b} \right)^{n}}}$$

Il en résulte que :
$$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } \left(\frac{2}{3}\right)^{n}-1 } & {=} & {-1} \\ {\lim\limits_{n\to +\infty } 3^{n}} & {=} & {+\infty} \end{array}\right\}$$ $$\red{\text{par produit}}$$ $$\lim\limits_{n\to +\infty } 3^{n} \left[\left(\frac{2}{3} \right)^{n} -1\right] = -\infty$$
Finalement :

Comme $$4>1$$ alors : $$\lim\limits_{n\to +\infty } 4^{n} =+\infty$$
Comme $$3>1$$ alors : $$\lim\limits_{n\to +\infty } 3^{n} =+\infty$$
Ainsi : $$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } 4^{n} +1} & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{n\to +\infty } 3^{n} -5} & {=} & {+\infty } \end{array}\right\}$$ par quotient, nous avons une forme indéterminée.
Pour relever l'indétermination, on va donc factoriser le numérateur par $$4^{n}$$ et le dénominateur par $$3^{n}$$.
Il vient alors que :
$$\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{4^{n} +1}{3^{n} -5}=\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{4^{n} \times \left(\frac{4^{n} +1}{4^{n} } \right)}{3^{n} \times \left(\frac{3^{n} -5}{3^{n} } \right)}$$
$$\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{4^{n} +1}{3^{n} -5}=\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{4^{n} }{3^{n} } \times \frac{\left(\frac{4^{n} +1}{4^{n} } \right)}{\left(\frac{3^{n} -5}{3^{n} } \right)}$$
$$\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{4^{n} +1}{3^{n} -5}=\lim\limits_{n\to +\infty } \left(\frac{4}{3} \right)^{n} \times \frac{\left(\frac{4^{n} +1}{4^{n} } \right)}{\left(\frac{3^{n} -5}{3^{n} } \right)}$$ car : $${\color{blue}{\frac{a^{n} }{b^{n} } =\left(\frac{a}{b} \right)^{n}}}$$
$$\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{4^{n} +1}{3^{n} -5}=\lim\limits_{n\to +\infty } \left(\frac{4}{3} \right)^{n} \times \frac{\left(\frac{4^{n} }{4^{n} } +\frac{1}{4^{n} } \right)}{\left(\frac{3^{n} }{3^{n} } -\frac{5}{3^{n} } \right)}$$
$$\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{4^{n} +1}{3^{n} -5}=\lim\limits_{n\to +\infty }\left(\frac{4}{3} \right)^{n} \times \frac{\left(1+\frac{1}{4^{n} } \right)}{\left(1-\frac{5}{3^{n} } \right)}$$

$$\red{\text{D'une part :}}$$
Comme $$\frac{4}{3}>1$$ alors : $$\lim\limits_{n\to +\infty } \left(\frac{4}{3} \right)^{n} =+\infty$$
$$\red{\text{D'autre part :}}$$
$$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } 1+\frac{1}{4^{n} }} & {=} & {1} \\ {\lim\limits_{n\to +\infty } 1-\frac{5}{3^{n} }} & {=} & {1} \end{array}\right\}$$ donc par quotient : $$\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{\left(1+\frac{1}{4^{n} } \right)}{\left(1-\frac{5}{3^{n} } \right)} = 1$$
D'où : $$\lim\limits_{n\to +\infty } \left(\frac{4}{3} \right)^{n} \times \frac{\left(1+\frac{1}{4^{n} } \right)}{\left(1-\frac{5}{3^{n} } \right)}=+\infty$$

Finalement :