Suites et limites

Savoir calculer les limites de la forme lim⁡n→+∞a×qn{\color{blue}{\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty } a\times q^{n}}} - Exercice 3

10 min
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Question 1
Déterminer les limites des suites (un)(u_{n} ) suivantes :

un=3n4nu_{n} =\frac{3^{n} }{4^{n} }

Correction
Il va falloir écrire différemment la suite (un)\left(u_{n}\right) afin de pouvoir calculer sa limite.
  • anbn=(ab)n\frac{a^{n} }{b^{n} } =\left(\frac{a}{b} \right)^{n}
un=3n4nu_{n} =\frac{3^{n} }{4^{n} } s'écrit donc : un=(34)nu_{n} =\left(\frac{3}{4} \right)^{n}
  • Si 0<q<10<q<1 alors lim⁡n→+∞qn=0\lim\limits_{n\to +\infty } q^{n} =0.
  • Si q>1 q >1 alors lim⁡n→+∞qn=+∞\lim\limits_{n\to +\infty } q^{n} =+\infty.
Comme 0<34<10<\frac{3}{4}<1 alors :
lim⁡n→+∞(34)n=0\lim\limits_{n\to +\infty } \left(\frac{3}{4}\right)^{n} =0
Ainsi :
lim⁡n→+∞un=0\lim\limits_{n\to +\infty } u_{n} =0

Question 2

un=7n3nu_{n} =\frac{7^{n} }{3^{n} }

Correction
Il va falloir écrire différemment la suite (un)\left(u_{n}\right) afin de pouvoir calculer sa limite.
  • anbn=(ab)n\frac{a^{n} }{b^{n} } =\left(\frac{a}{b} \right)^{n}
un=7n3nu_{n} =\frac{7^{n} }{3^{n} } s'écrit donc : un=(73)nu_{n} =\left(\frac{7}{3} \right)^{n}
  • Si 0<q<10<q<1 alors lim⁡n→+∞qn=0\lim\limits_{n\to +\infty } q^{n} =0.
  • Si q>1 q >1 alors lim⁡n→+∞qn=+∞\lim\limits_{n\to +\infty } q^{n} =+\infty.
Comme 73>1\frac{7}{3} >1 alors :
lim⁡n→+∞(73)n=+∞\lim\limits_{n\to +\infty } \left(\frac{7}{3}\right)^{n} =+\infty
Ainsi :
lim⁡n→+∞un=+∞\lim\limits_{n\to +\infty } u_{n} =+\infty
Question 3

un=15nu_{n} =\frac{1 }{5^{n} }

Correction
Il va falloir écrire différemment la suite (un)\left(u_{n}\right) afin de pouvoir calculer sa limite.
  • anbn=(ab)n\frac{a^{n} }{b^{n} } =\left(\frac{a}{b} \right)^{n}
un=15n=1n5nu_{n} =\frac{1 }{5^{n} }=\frac{1^{n} }{5^{n} } s'écrit donc : un=(15)nu_{n} =\left(\frac{1}{5} \right)^{n}
  • Si 0<q<10<q<1 alors lim⁡n→+∞qn=0\lim\limits_{n\to +\infty } q^{n} =0.
  • Si q>1 q >1 alors lim⁡n→+∞qn=+∞\lim\limits_{n\to +\infty } q^{n} =+\infty.
Comme 0<15<10<\frac{1}{5}<1 alors :
lim⁡n→+∞(15)n=0\lim\limits_{n\to +\infty } \left(\frac{1}{5}\right)^{n} =0
Ainsi :
lim⁡n→+∞un=0\lim\limits_{n\to +\infty } u_{n} =0