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Suites et limites

Savoir calculer les limites de la forme limn+a×qn{\color{blue}{\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty } a\times q^{n}}} - Exercice 2

8 min
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Déterminer les limites des suites (un)(u_{n} ) suivantes :
Question 1

un=3×(22)nu_{n} =3\times \left(\frac{\sqrt{2} }{2} \right)^{n}

Correction
  • Si 0<q<10<q<1 alors limn+qn=0\lim\limits_{n\to +\infty } q^{n} =0.
  • Si q>1 q >1 alors limn+qn=+\lim\limits_{n\to +\infty } q^{n} =+\infty.
Comme 0<22<10<\frac{\sqrt{2} }{2} <1 alors :
limn+(22)n=0\lim\limits_{n\to +\infty } \left(\frac{\sqrt{2} }{2}\right)^{n} =0
limn+3×(22)n=0\lim\limits_{n\to +\infty } 3\times\left(\frac{\sqrt{2} }{2}\right)^{n} =0
Ainsi :
limn+un=0\lim\limits_{n\to +\infty } u_{n} =0
Question 2

un=5×enu_{n} =-5\times e^{n}

Correction
  • Si 0<q<10<q<1 alors limn+qn=0\lim\limits_{n\to +\infty } q^{n} =0.
  • Si q>1 q >1 alors limn+qn=+\lim\limits_{n\to +\infty } q^{n} =+\infty.
Comme e>1e >1 alors :
limn+en=+\lim\limits_{n\to +\infty } e^{n} =+\infty
limn+5×en=\lim\limits_{n\to +\infty } -5\times e^{n} =-\infty
Ainsi :
limn+un=\lim\limits_{n\to +\infty } u_{n} =-\infty
Question 3

un=23nu_{n} =\frac{2}{3^{n} }

Correction
Il va falloir écrire différemment la suite (un)\left(u_{n}\right) afin de pouvoir calculer sa limite.
  • anbn=(ab)n\frac{a^{n} }{b^{n} } =\left(\frac{a}{b} \right)^{n}
un=23nu_{n} =\frac{2}{3^{n} }
un=2×13nu_{n} =2\times \frac{1}{3^{n} }
un=2×1n3nu_{n} =2\times\frac{1^{n} }{3^{n} }
un=2×(13)nu_{n} =2\times \left(\frac{1}{3} \right)^{n}
  • Si 0<q<10<q<1 alors limn+qn=0\lim\limits_{n\to +\infty } q^{n} =0.
  • Si q>1 q >1 alors limn+qn=+\lim\limits_{n\to +\infty } q^{n} =+\infty.
Comme 0<13<10<\frac{1}{3}<1 alors :
limn+(13)n=0\lim\limits_{n\to +\infty } \left(\frac{1}{3}\right)^{n} =0
limn+2×(23)n=0\lim\limits_{n\to +\infty } 2\times\left(\frac{2}{3}\right)^{n} =0
Ainsi :
limn+un=0\lim\limits_{n\to +\infty } u_{n} =0

Question 4

un=7+0,8n34nu_{n} =\frac{7+0,8^{n} }{3-\frac{4}{n} }

Correction
  • Si 0<q<10<q<1 alors limn+qn=0\lim\limits_{n\to +\infty } q^{n} =0.
  • Si q>1 q >1 alors limn+qn=+\lim\limits_{n\to +\infty } q^{n} =+\infty.
Comme 0<0,8<10<0,8<1 alors :limn+0,8n=0\lim\limits_{n\to +\infty } 0,8^{n} =0
De plus : limn+4n=0\lim\limits_{n\to +\infty } -\frac{4}{n} =0
Ainsi :
limn+7+0,8n=7limn+34n=3}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } 7+0,8^{n}} & {=} & {7 } \\ {\lim\limits_{n\to +\infty } 3-\frac{4}{n}} & {=} & {3} \end{array}\right\} par quotient\text{\red{par quotient}}
limn+7+0,8n34n=73\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty } \frac{7+0,8^{n} }{3-\frac{4}{n} }=\frac{7}{3}