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Suites et limites
Savoir calculer les limites de la forme
lim
n
→
+
∞
a
×
q
n
{\color{blue}{\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty } a\times q^{n}}}
n
→
+
∞
l
i
m
a
×
q
n
- Exercice 1
10 min
20
Déterminer les limites des suites
(
u
n
)
(u_{n} )
(
u
n
)
suivantes :
Question 1
u
n
=
(
−
2
)
×
0
,
9
5
n
u_{n} =\left(-2\right)\times 0,95^{n}
u
n
=
(
−
2
)
×
0
,
9
5
n
Correction
Si
0
<
q
<
1
0<q<1
0
<
q
<
1
alors
lim
n
→
+
∞
q
n
=
0
\lim\limits_{n\to +\infty } q^{n} =0
n
→
+
∞
lim
q
n
=
0
.
Si
q
>
1
q >1
q
>
1
alors
lim
n
→
+
∞
q
n
=
+
∞
\lim\limits_{n\to +\infty } q^{n} =+\infty
n
→
+
∞
lim
q
n
=
+
∞
.
Comme
0
<
0
,
95
<
1
0<0,95<1
0
<
0
,
95
<
1
alors :
lim
n
→
+
∞
(
0
,
95
)
n
=
0
\lim\limits_{n\to +\infty } \left(0,95\right)^{n} =0
n
→
+
∞
lim
(
0
,
95
)
n
=
0
lim
n
→
+
∞
(
−
2
)
×
(
0
,
95
)
n
=
0
\lim\limits_{n\to +\infty } \left(-2\right)\times \left(0,95\right)^{n} =0
n
→
+
∞
lim
(
−
2
)
×
(
0
,
95
)
n
=
0
Ainsi :
lim
n
→
+
∞
u
n
=
0
\lim\limits_{n\to +\infty } u_{n} =0
n
→
+
∞
lim
u
n
=
0
Question 2
u
n
=
3
×
(
2
3
)
n
u_{n} =3\times \left(\frac{2}{3} \right)^{n}
u
n
=
3
×
(
3
2
)
n
Correction
Si
0
<
q
<
1
0<q<1
0
<
q
<
1
alors
lim
n
→
+
∞
q
n
=
0
\lim\limits_{n\to +\infty } q^{n} =0
n
→
+
∞
lim
q
n
=
0
.
Si
q
>
1
q >1
q
>
1
alors
lim
n
→
+
∞
q
n
=
+
∞
\lim\limits_{n\to +\infty } q^{n} =+\infty
n
→
+
∞
lim
q
n
=
+
∞
.
Comme
0
<
2
3
<
1
0<\frac{2}{3}<1
0
<
3
2
<
1
alors :
lim
n
→
+
∞
(
2
3
)
n
=
0
\lim\limits_{n\to +\infty } \left(\frac{2}{3}\right)^{n} =0
n
→
+
∞
lim
(
3
2
)
n
=
0
lim
n
→
+
∞
3
×
(
2
3
)
n
=
0
\lim\limits_{n\to +\infty } 3\times\left(\frac{2}{3}\right)^{n} =0
n
→
+
∞
lim
3
×
(
3
2
)
n
=
0
Ainsi :
lim
n
→
+
∞
u
n
=
0
\lim\limits_{n\to +\infty } u_{n} =0
n
→
+
∞
lim
u
n
=
0
Question 3
u
n
=
2
×
(
5
4
)
n
u_{n} =2\times \left(\frac{5}{4} \right)^{n}
u
n
=
2
×
(
4
5
)
n
Correction
Si
0
<
q
<
1
0<q<1
0
<
q
<
1
alors
lim
n
→
+
∞
q
n
=
0
\lim\limits_{n\to +\infty } q^{n} =0
n
→
+
∞
lim
q
n
=
0
.
Si
q
>
1
q >1
q
>
1
alors
lim
n
→
+
∞
q
n
=
+
∞
\lim\limits_{n\to +\infty } q^{n} =+\infty
n
→
+
∞
lim
q
n
=
+
∞
.
Comme
5
4
>
1
\frac{5}{4} >1
4
5
>
1
alors :
lim
n
→
+
∞
(
5
4
)
n
=
+
∞
\lim\limits_{n\to +\infty } \left(\frac{5}{4}\right)^{n} =+\infty
n
→
+
∞
lim
(
4
5
)
n
=
+
∞
lim
n
→
+
∞
2
×
(
5
4
)
n
=
+
∞
\lim\limits_{n\to +\infty } 2\times\left(\frac{5}{4}\right)^{n} =+\infty
n
→
+
∞
lim
2
×
(
4
5
)
n
=
+
∞
Ainsi :
lim
n
→
+
∞
u
n
=
+
∞
\lim\limits_{n\to +\infty } u_{n} =+\infty
n
→
+
∞
lim
u
n
=
+
∞
Question 4
u
n
=
−
2
×
(
3
2
)
n
u_{n} =-2\times \left(\frac{3}{2} \right)^{n}
u
n
=
−
2
×
(
2
3
)
n
Correction
Si
0
<
q
<
1
0<q<1
0
<
q
<
1
alors
lim
n
→
+
∞
q
n
=
0
\lim\limits_{n\to +\infty } q^{n} =0
n
→
+
∞
lim
q
n
=
0
.
Si
q
>
1
q >1
q
>
1
alors
lim
n
→
+
∞
q
n
=
+
∞
\lim\limits_{n\to +\infty } q^{n} =+\infty
n
→
+
∞
lim
q
n
=
+
∞
.
Comme
3
2
>
1
\frac{3}{2} >1
2
3
>
1
alors :
lim
n
→
+
∞
(
3
2
)
n
=
+
∞
\lim\limits_{n\to +\infty } \left(\frac{3}{2}\right)^{n} =+\infty
n
→
+
∞
lim
(
2
3
)
n
=
+
∞
lim
n
→
+
∞
−
2
×
(
3
2
)
n
=
−
∞
\lim\limits_{n\to +\infty } -2\times\left(\frac{3}{2}\right)^{n} =-\infty
n
→
+
∞
lim
−
2
×
(
2
3
)
n
=
−
∞
Ainsi :
lim
n
→
+
∞
u
n
=
−
∞
\lim\limits_{n\to +\infty } u_{n} =-\infty
n
→
+
∞
lim
u
n
=
−
∞
Question 5
u
n
=
7
×
0
,
9
2
n
u_{n} =7\times 0,92^{n}
u
n
=
7
×
0
,
9
2
n
Correction
Si
0
<
q
<
1
0<q<1
0
<
q
<
1
alors
lim
n
→
+
∞
q
n
=
0
\lim\limits_{n\to +\infty } q^{n} =0
n
→
+
∞
lim
q
n
=
0
.
Si
q
>
1
q >1
q
>
1
alors
lim
n
→
+
∞
q
n
=
+
∞
\lim\limits_{n\to +\infty } q^{n} =+\infty
n
→
+
∞
lim
q
n
=
+
∞
.
Comme
0
<
0
,
92
<
1
0<0,92<1
0
<
0
,
92
<
1
alors :
lim
n
→
+
∞
0
,
9
2
n
=
0
\lim\limits_{n\to +\infty } 0,92^{n} =0
n
→
+
∞
lim
0
,
9
2
n
=
0
lim
n
→
+
∞
7
×
0
,
9
2
n
=
0
\lim\limits_{n\to +\infty } 7\times 0,92^{n} =0
n
→
+
∞
lim
7
×
0
,
9
2
n
=
0
Ainsi :
lim
n
→
+
∞
u
n
=
0
\lim\limits_{n\to +\infty } u_{n}=0
n
→
+
∞
lim
u
n
=
0
Question 6
u
n
=
−
5
×
0
,
8
n
u_{n} =-5\times 0,8^{n}
u
n
=
−
5
×
0
,
8
n
Correction
Si
0
<
q
<
1
0<q<1
0
<
q
<
1
alors
lim
n
→
+
∞
q
n
=
0
\lim\limits_{n\to +\infty } q^{n} =0
n
→
+
∞
lim
q
n
=
0
.
Si
q
>
1
q >1
q
>
1
alors
lim
n
→
+
∞
q
n
=
+
∞
\lim\limits_{n\to +\infty } q^{n} =+\infty
n
→
+
∞
lim
q
n
=
+
∞
.
Comme
0
<
0
,
8
<
1
0<0,8<1
0
<
0
,
8
<
1
alors :
lim
n
→
+
∞
0
,
8
n
=
0
\lim\limits_{n\to +\infty } 0,8^{n} =0
n
→
+
∞
lim
0
,
8
n
=
0
lim
n
→
+
∞
−
5
×
0
,
8
n
=
0
\lim\limits_{n\to +\infty } -5\times 0,8^{n} =0
n
→
+
∞
lim
−
5
×
0
,
8
n
=
0
Ainsi :
lim
n
→
+
∞
u
n
=
0
\lim\limits_{n\to +\infty } u_{n} =0
n
→
+
∞
lim
u
n
=
0