Suites et limites

Limites de suites : les bases - Exercice 2

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Nous savons que lim⁡n→+∞an=+∞\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty } a_{n} =+\infty
Soient trois suites (un)\left(u_{n} \right) ; (vn)\left(v_{n} \right) et (wn)\left(w_{n} \right) telles que : un=−3anu_{n}=-3a_{n} ; vn=an−10v_{n}=a_{n}-10 et wn=−2anw_{n}=\frac{-2}{a_{n}}
Question 1

Déterminer lim⁡n→+∞un\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty } u_{n} .

Correction
lim⁡n→+∞−3=−3lim⁡n→+∞an=+∞}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } -3} & {=} & {-3 } \\ {\lim\limits_{n\to +\infty } a_{n}} & {=} & {+\infty } \end{array}\right\} par produit\text{\red{par produit}}
lim⁡n→+∞−3an=−∞\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty } -3a_{n}=-\infty

Ainsi :
lim⁡n→+∞un=−∞\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty } u_{n}=-\infty
Question 2

Déterminer lim⁡n→+∞vn\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty } v_{n} .

Correction
lim⁡n→+∞an=+∞lim⁡n→+∞−10=−10}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } a_{n}} & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{n\to +\infty } -10} & {=} & {-10 } \end{array}\right\} par addition\text{\red{par addition}}
lim⁡n→+∞an−10=+∞\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty } a_{n}-10=+\infty

Ainsi :
lim⁡n→+∞vn=+∞\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty } v_{n}=+\infty
Question 3

Déterminer lim⁡n→+∞wn\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty } w_{n} .

Correction
  • Si on rencontre une forme Nombre∞\frac{\text{Nombre}}{\infty } alors la limite sera égale à zéro.
    • lim⁡n→+∞−2=−2lim⁡n→+∞an=+∞}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } -2} & {=} & {-2} \\ {\lim\limits_{n\to +\infty } a_{n}} & {=} & {+\infty } \end{array}\right\} par quotient\text{\red{par quotient}}
    lim⁡n→+∞−2an=0\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty } \frac{-2}{a_{n}}=0

    Ainsi :
    lim⁡n→+∞wn=0\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty } w_{n}=0