Limites de suites en utilisant les opérations - Exercice 3

$$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } 2-\frac{1}{\sqrt{n} }} & {=} & {2 } \\ {\lim\limits_{n\to +\infty } 3+\frac{4}{n} } & {=} & {3} \end{array}\right\}$$ $$\red{\text{par produit :}}$$
$$\purple{\text{Finalement :}}$$ $$\lim\limits_{n\to +\infty } u_{n}=6$$

$$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } 5-\sqrt{n}} & {=} & {-\infty } \\ {\lim\limits_{n\to +\infty } 2-\frac{6}{n} } & {=} & {2} \end{array}\right\}$$ $$\red{\text{par produit :}}$$
$$\purple{\text{Finalement :}}$$ $$\lim\limits_{n\to +\infty } u_{n}=-\infty$$

$$\lim\limits_{n\to +\infty } u_{n} =\lim\limits_{n\to +\infty }\frac{n^{2} +3}{n^{2} }$$
$$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty }n^{2} +3} & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{n\to +\infty } n^{2}} & {=} & {+\infty } \end{array}\right\}$$ par quotient, nous avons $$\text{\red{une forme indéterminée}}$$ .
Pour relever cette indétermination, nous allons donc transformer l'expression de la suite $$\left(u_{n}\right)$$ .
Ainsi :
$$u_{n} =\frac{n^{2} +3}{n^{2} }=\frac{n^{2}}{n^{2}}+\frac{3}{n^{2}}=1+\frac{3}{n^{2}}$$
Il vient alors que :
$$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } 1 } & {=} & {1} \\ {\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{3}{n^{2}}} & {=} & {0} \end{array}\right\}$$ $$\text{\red{par addition}}$$
$$\purple{\text{Finalement :}}$$ $$\lim\limits_{n\to +\infty } u_{n}=1$$

$$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } 3n+1} & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{n\to +\infty } 500 } & {=} & {500} \end{array}\right\}$$ $$\red{\text{par quotient :}}$$
$$\purple{\text{Finalement :}}$$ $$\lim\limits_{n\to +\infty } u_{n}=+\infty$$

$$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } 5} & {=} & {5} \\ {\lim\limits_{n\to +\infty } n+\sqrt{n} -9 } & {=} & {+\infty} \end{array}\right\}$$ $$\red{\text{par quotient :}}$$
$$\purple{\text{Finalement :}}$$ $$\lim\limits_{n\to +\infty } u_{n}=0$$