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Limites de suites en utilisant les opérations - Exercice 3

15 min
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Déterminer les limites des suites (un)(u_{n} ) suivantes :
Question 1

un=(2−1n)(3+4n)u_{n} =\left(2-\frac{1}{\sqrt{n} } \right)\left(3+\frac{4}{n} \right)

Correction
lim⁡n→+∞2−1n=2lim⁡n→+∞3+4n=3}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } 2-\frac{1}{\sqrt{n} }} & {=} & {2 } \\ {\lim\limits_{n\to +\infty } 3+\frac{4}{n} } & {=} & {3} \end{array}\right\} par produit :\red{\text{par produit :}}
lim⁡n→+∞(2−1n)(3+4n)=6\lim\limits_{n\to +\infty } \left(2-\frac{1}{\sqrt{n} } \right)\left(3+\frac{4}{n} \right) =6

Finalement :\purple{\text{Finalement :}} lim⁡n→+∞un=6\lim\limits_{n\to +\infty } u_{n}=6
Si on rencontre une forme Nombre∞\frac{Nombre}{\infty } alors la limite sera égale à zéro.
Question 2

un=(5−n)(2−6n)u_{n} =\left(5-\sqrt{n} \right)\left(2-\frac{6}{n} \right)

Correction
lim⁡n→+∞5−n=−∞lim⁡n→+∞2−6n=2}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } 5-\sqrt{n}} & {=} & {-\infty } \\ {\lim\limits_{n\to +\infty } 2-\frac{6}{n} } & {=} & {2} \end{array}\right\} par produit :\red{\text{par produit :}}
lim⁡n→+∞(5−n)(2−6n)=−∞\lim\limits_{n\to +\infty } \left(5-\sqrt{n} \right)\left(2-\frac{6}{n} \right) =-\infty

Finalement :\purple{\text{Finalement :}} lim⁡n→+∞un=−∞\lim\limits_{n\to +\infty } u_{n}=-\infty
Si on rencontre une forme Nombre∞\frac{Nombre}{\infty } alors la limite sera égale à zéro.
Question 3

un=n2+3n2u_{n} =\frac{n^{2} +3}{n^{2} }

Correction
lim⁡n→+∞un=lim⁡n→+∞n2+3n2\lim\limits_{n\to +\infty } u_{n} =\lim\limits_{n\to +\infty }\frac{n^{2} +3}{n^{2} }
lim⁡n→+∞n2+3=+∞lim⁡n→+∞n2=+∞}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty }n^{2} +3} & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{n\to +\infty } n^{2}} & {=} & {+\infty } \end{array}\right\} par quotient, nous avons une forme indeˊtermineˊe\text{\red{une forme indéterminée}} .
Pour relever cette indétermination, nous allons donc transformer l'expression de la suite (un)\left(u_{n}\right) .
Ainsi :
un=n2+3n2=n2n2+3n2=1+3n2u_{n} =\frac{n^{2} +3}{n^{2} }=\frac{n^{2}}{n^{2}}+\frac{3}{n^{2}}=1+\frac{3}{n^{2}}
  • Si on rencontre une forme Nombre∞\frac{\text{Nombre}}{\infty } alors la limite sera égale à zéro.
    • Il vient alors que :
    lim⁡n→+∞1=1lim⁡n→+∞3n2=0}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } 1 } & {=} & {1} \\ {\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{3}{n^{2}}} & {=} & {0} \end{array}\right\} par addition\text{\red{par addition}}
    lim⁡n→+∞1+3n2=1\lim\limits_{n\to +\infty } 1+\frac{3}{n^{2}}=1

    Finalement :\purple{\text{Finalement :}} lim⁡n→+∞un=1\lim\limits_{n\to +\infty } u_{n}=1
    Question 4

    un=3n+1500u_{n} =\frac{3n+1}{500}

    Correction
    lim⁡n→+∞3n+1=+∞lim⁡n→+∞500=500}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } 3n+1} & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{n\to +\infty } 500 } & {=} & {500} \end{array}\right\} par quotient :\red{\text{par quotient :}}
    lim⁡n→+∞3n+1500=+∞\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{3n+1}{500} =+\infty

    Finalement :\purple{\text{Finalement :}} lim⁡n→+∞un=+∞\lim\limits_{n\to +\infty } u_{n}=+\infty
    Question 5

    un=5n+n−9u_{n} =\frac{5}{n+\sqrt{n} -9}

    Correction
    lim⁡n→+∞5=5lim⁡n→+∞n+n−9=+∞}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } 5} & {=} & {5} \\ {\lim\limits_{n\to +\infty } n+\sqrt{n} -9 } & {=} & {+\infty} \end{array}\right\} par quotient :\red{\text{par quotient :}}
    lim⁡n→+∞5n+n−9=0\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{5}{n+\sqrt{n} -9} =0

    Finalement :\purple{\text{Finalement :}} lim⁡n→+∞un=0\lim\limits_{n\to +\infty } u_{n}=0
    Si on rencontre une forme Nombre∞\frac{Nombre}{\infty } alors la limite sera égale à zéro.

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