Suites et limites

Limites de suites en utilisant les opérations - Exercice 2

15 min
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Déterminer les limites des suites (un)(u_{n} ) suivantes :
Question 1

un=n+1nu_{n} =\frac{n+1}{n}

Correction
lim⁡n→+∞un=lim⁡n→+∞n+1n\lim\limits_{n\to +\infty } u_{n} =\lim\limits_{n\to +\infty }\frac{n+1}{n}
lim⁡n→+∞n+1=+∞lim⁡n→+∞n=+∞}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } n +1} & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{n\to +\infty } n} & {=} & {+\infty } \end{array}\right\} par quotient, nous avons une forme indeˊtermineˊe\text{\red{une forme indéterminée}} .
Pour relever cette indétermination, nous allons donc transformer l'expression de la suite (un)\left(u_{n}\right) .
Ainsi :
un=n+1n=nn+1n=1+1nu_{n} =\frac{n+1}{n}=\frac{n}{n}+\frac{1}{n}=1+\frac{1}{n}
  • Si on rencontre une forme Nombre∞\frac{\text{Nombre}}{\infty } alors la limite sera égale à zéro.
    • Il vient alors que :
    lim⁡n→+∞1=1lim⁡n→+∞1n=0}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } 1 } & {=} & {1} \\ {\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{1}{n}} & {=} & {0} \end{array}\right\} par addition\text{\red{par addition}}
    lim⁡n→+∞1+1n=1\lim\limits_{n\to +\infty } 1+\frac{1}{n}=1

    Finalement : lim⁡n→+∞un=1\lim\limits_{n\to +\infty } u_{n}=1
    Question 2

    un=−5n−3nu_{n} =\frac{-5n-3}{n}

    Correction
    lim⁡n→+∞un=lim⁡n→+∞−5n−3n\lim\limits_{n\to +\infty } u_{n} =\lim\limits_{n\to +\infty }\frac{-5n-3}{n}
    lim⁡n→+∞−5n−3=−∞lim⁡n→+∞n=+∞}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } -5n-3} & {=} & {-\infty } \\ {\lim\limits_{n\to +\infty } n} & {=} & {+\infty } \end{array}\right\} par quotient, nous avons une forme indeˊtermineˊe\text{\red{une forme indéterminée}} .
    Pour relever cette indétermination, nous allons donc transformer l'expression de la suite (un)\left(u_{n}\right) .
    Ainsi :
    un=−5n−3n=−5nn−3n=−5−3nu_{n} =\frac{-5n-3}{n}=\frac{-5n}{n}-\frac{3}{n}=-5-\frac{3}{n}
  • Si on rencontre une forme Nombre∞\frac{\text{Nombre}}{\infty } alors la limite sera égale à zéro.
    • Il vient alors que :
    lim⁡n→+∞−5=−5lim⁡n→+∞−3n=0}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } -5 } & {=} & {-5} \\ {\lim\limits_{n\to +\infty } -\frac{3}{n}} & {=} & {0} \end{array}\right\} par addition\text{\red{par addition}}
    lim⁡n→+∞−5−3n=−5\lim\limits_{n\to +\infty } -5-\frac{3}{n}=-5

    Finalement : lim⁡n→+∞un=−5\lim\limits_{n\to +\infty } u_{n}=-5
    Question 3

    un=−6n−3u_{n} =\frac{-6}{n-3}

    Correction
  • Si on rencontre une forme Nombre∞\frac{\text{Nombre}}{\infty } alors la limite sera égale à zéro.
    • lim⁡n→+∞un=lim⁡n→+∞−6n−3\lim\limits_{n\to +\infty } u_{n} =\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{-6}{n-3}
    Il vient alors que :
    lim⁡n→+∞−6=−6lim⁡n→+∞n−3=+∞}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } -6 } & {=} & {-6 } \\ {\lim\limits_{n\to +\infty } n-3} & {=} & {+\infty} \end{array}\right\} par quotient\text{\red{par quotient}}
    lim⁡n→+∞−6n−3=0\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{-6}{n-3}=0

    Ainsi : lim⁡n→+∞un=0\lim\limits_{n\to +\infty } u_{n}=0
    Question 4

    un=(n+1)(n+3)u_{n} =\left(n+1\right)\left(n+3\right)

    Correction
    lim⁡n→+∞un=lim⁡n→+∞(n+1)(n+3)\lim\limits_{n\to +\infty } u_{n} =\lim\limits_{n\to +\infty } \left(n+1\right)\left(n+3\right)
    Il vient alors que :
    lim⁡n→+∞n+1=+∞lim⁡n→+∞n+3=+∞}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } n+1 } & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{n\to +\infty } n+3} & {=} & {+\infty} \end{array}\right\} par produit\text{\red{par produit}}
    lim⁡n→+∞(n+1)(n+3)=+∞\lim\limits_{n\to +\infty } \left(n+1\right)\left(n+3\right)=+\infty

    Ainsi : lim⁡n→+∞un=+∞\lim\limits_{n\to +\infty } u_{n}=+\infty
    Question 5

    un=(2n+4)(−n+6)u_{n} =\left(2n+4\right)\left(-n+6\right)

    Correction
    lim⁡n→+∞un=lim⁡n→+∞(2n+4)(−n+6)\lim\limits_{n\to +\infty } u_{n} =\lim\limits_{n\to +\infty } \left(2n+4\right)\left(-n+6\right)
    Nous savons que lim⁡n→+∞n=+∞\lim\limits_{n\to +\infty } n=+\infty ainsi lim⁡n→+∞2n=+∞\lim\limits_{n\to +\infty } 2n=+\infty .
    Nous savons que lim⁡n→+∞n=+∞\lim\limits_{n\to +\infty } n=+\infty ainsi lim⁡n→+∞−n=−∞\lim\limits_{n\to +\infty } -n=-\infty .
    Il vient alors que :
    lim⁡n→+∞2n+4=+∞lim⁡n→+∞−n+6=−∞}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } 2n+4 } & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{n\to +\infty } -n+6} & {=} & {-\infty} \end{array}\right\} par produit\text{\red{par produit}}
    lim⁡n→+∞(2n+4)(−n+6)=−∞\lim\limits_{n\to +\infty } \left(2n+4\right)\left(-n+6\right)=-\infty

    Ainsi : lim⁡n→+∞un=−∞\lim\limits_{n\to +\infty } u_{n}=-\infty
    Question 6

    un=2n+9u_{n} =\frac{2}{\sqrt{n} +9}

    Correction
  • Si on rencontre une forme Nombre∞\frac{\text{Nombre}}{\infty } alors la limite sera égale à zéro.
    • lim⁡n→+∞un=lim⁡n→+∞2n+9\lim\limits_{n\to +\infty } u_{n} =\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{2}{\sqrt{n} +9}
    Il vient alors que :
    lim⁡n→+∞2=2lim⁡n→+∞n+9=+∞}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty }2} & {=} & {2} \\ {\lim\limits_{n\to +\infty } \sqrt{n} +9} & {=} & {+\infty} \end{array}\right\} par quotient\text{\red{par quotient}}
    lim⁡n→+∞2n+9=0\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{2}{\sqrt{n} +9}=0

    Ainsi : lim⁡n→+∞un=0\lim\limits_{n\to +\infty } u_{n}=0