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Suites et limites
Limites de suites en utilisant les opérations - Exercice 1
15 min
30
Déterminer les limites des suites
(
u
n
)
(u_{n} )
(
u
n
)
suivantes :
Question 1
u
n
=
n
+
3
u_{n} =n+3
u
n
=
n
+
3
Correction
lim
n
→
+
∞
u
n
=
lim
n
→
+
∞
n
+
3
\lim\limits_{n\to +\infty } u_{n} =\lim\limits_{n\to +\infty } n+3
n
→
+
∞
lim
u
n
=
n
→
+
∞
lim
n
+
3
Il vient alors que :
lim
n
→
+
∞
n
=
+
∞
lim
n
→
+
∞
3
=
3
}
\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } n } & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{n\to +\infty } 3} & {=} & {3} \end{array}\right\}
n
→
+
∞
lim
n
n
→
+
∞
lim
3
=
=
+
∞
3
}
par addition
\text{\red{par addition}}
par addition
lim
n
→
+
∞
n
+
3
=
+
∞
\lim\limits_{n\to +\infty } n+3=+\infty
n
→
+
∞
lim
n
+
3
=
+
∞
Ainsi :
lim
n
→
+
∞
u
n
=
+
∞
\lim\limits_{n\to +\infty } u_{n}=+\infty
n
→
+
∞
lim
u
n
=
+
∞
Question 2
u
n
=
2
n
−
4
u_{n} =2n-4
u
n
=
2
n
−
4
Correction
lim
n
→
+
∞
u
n
=
lim
n
→
+
∞
2
n
−
4
\lim\limits_{n\to +\infty } u_{n} =\lim\limits_{n\to +\infty } 2n-4
n
→
+
∞
lim
u
n
=
n
→
+
∞
lim
2
n
−
4
Nous savons que
lim
n
→
+
∞
n
=
+
∞
\lim\limits_{n\to +\infty } n=+\infty
n
→
+
∞
lim
n
=
+
∞
ainsi
lim
n
→
+
∞
2
n
=
+
∞
\lim\limits_{n\to +\infty } 2n=+\infty
n
→
+
∞
lim
2
n
=
+
∞
.
Il vient alors que :
lim
n
→
+
∞
2
n
=
+
∞
lim
n
→
+
∞
−
4
=
−
4
}
\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } 2n } & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{n\to +\infty } -4} & {=} & {-4} \end{array}\right\}
n
→
+
∞
lim
2
n
n
→
+
∞
lim
−
4
=
=
+
∞
−
4
}
par addition
\text{\red{par addition}}
par addition
lim
n
→
+
∞
2
n
−
4
=
+
∞
\lim\limits_{n\to +\infty } 2n-4=+\infty
n
→
+
∞
lim
2
n
−
4
=
+
∞
Ainsi :
lim
n
→
+
∞
u
n
=
+
∞
\lim\limits_{n\to +\infty } u_{n}=+\infty
n
→
+
∞
lim
u
n
=
+
∞
Question 3
u
n
=
n
−
9
u_{n} =\sqrt{n} -9
u
n
=
n
−
9
Correction
lim
n
→
+
∞
u
n
=
lim
n
→
+
∞
n
−
9
\lim\limits_{n\to +\infty } u_{n} =\lim\limits_{n\to +\infty } \sqrt{n} -9
n
→
+
∞
lim
u
n
=
n
→
+
∞
lim
n
−
9
Il vient alors que :
lim
n
→
+
∞
n
=
+
∞
lim
n
→
+
∞
−
9
=
−
9
}
\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } \sqrt{n} } & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{n\to +\infty } -9} & {=} & {-9} \end{array}\right\}
n
→
+
∞
lim
n
n
→
+
∞
lim
−
9
=
=
+
∞
−
9
}
par addition
\text{\red{par addition}}
par addition
lim
n
→
+
∞
n
−
9
=
+
∞
\lim\limits_{n\to +\infty } \sqrt{n} -9=+\infty
n
→
+
∞
lim
n
−
9
=
+
∞
Ainsi :
lim
n
→
+
∞
u
n
=
+
∞
\lim\limits_{n\to +\infty } u_{n}=+\infty
n
→
+
∞
lim
u
n
=
+
∞
Question 4
u
n
=
n
2
+
6
n
−
5
u_{n} =n^{2} +6n-5
u
n
=
n
2
+
6
n
−
5
Correction
lim
n
→
+
∞
u
n
=
lim
n
→
+
∞
n
2
+
6
n
−
5
\lim\limits_{n\to +\infty } u_{n} =\lim\limits_{n\to +\infty } n^{2} +6n-5
n
→
+
∞
lim
u
n
=
n
→
+
∞
lim
n
2
+
6
n
−
5
Il vient alors que :
lim
n
→
+
∞
n
2
=
+
∞
lim
n
→
+
∞
6
n
=
+
∞
lim
n
→
+
∞
−
5
=
−
5
}
\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } n^{2} } & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{n\to +\infty } 6n} & {=} & {+\infty} \\ {\lim\limits_{n\to +\infty } -5} & {=} & {-5}\end{array}\right\}
n
→
+
∞
lim
n
2
n
→
+
∞
lim
6
n
n
→
+
∞
lim
−
5
=
=
=
+
∞
+
∞
−
5
⎭
⎬
⎫
par addition
\text{\red{par addition}}
par addition
lim
n
→
+
∞
n
2
+
6
n
−
5
=
+
∞
\lim\limits_{n\to +\infty } n^{2} +6n-5=+\infty
n
→
+
∞
lim
n
2
+
6
n
−
5
=
+
∞
Ainsi :
lim
n
→
+
∞
u
n
=
+
∞
\lim\limits_{n\to +\infty } u_{n}=+\infty
n
→
+
∞
lim
u
n
=
+
∞
Question 5
u
n
=
−
5
n
+
2
u_{n} =-5n+2
u
n
=
−
5
n
+
2
Correction
lim
n
→
+
∞
u
n
=
lim
n
→
+
∞
−
5
n
+
2
\lim\limits_{n\to +\infty } u_{n} =\lim\limits_{n\to +\infty } -5n+2
n
→
+
∞
lim
u
n
=
n
→
+
∞
lim
−
5
n
+
2
Nous savons que
lim
n
→
+
∞
n
=
+
∞
\lim\limits_{n\to +\infty } n=+\infty
n
→
+
∞
lim
n
=
+
∞
ainsi
lim
n
→
+
∞
−
5
n
=
−
∞
\lim\limits_{n\to +\infty } -5n=-\infty
n
→
+
∞
lim
−
5
n
=
−
∞
.
Il vient alors que :
lim
n
→
+
∞
−
5
n
=
−
∞
lim
n
→
+
∞
2
=
2
}
\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } -5n } & {=} & {-\infty } \\ {\lim\limits_{n\to +\infty } 2} & {=} & {2} \end{array}\right\}
n
→
+
∞
lim
−
5
n
n
→
+
∞
lim
2
=
=
−
∞
2
}
par addition
\text{\red{par addition}}
par addition
lim
n
→
+
∞
−
5
n
+
2
=
−
∞
\lim\limits_{n\to +\infty } -5n+2=-\infty
n
→
+
∞
lim
−
5
n
+
2
=
−
∞
Ainsi :
lim
n
→
+
∞
u
n
=
−
∞
\lim\limits_{n\to +\infty } u_{n}=-\infty
n
→
+
∞
lim
u
n
=
−
∞
Question 6
u
n
=
−
2
n
2
−
4
n
+
3
u_{n} =-2n^{2} -4n+3
u
n
=
−
2
n
2
−
4
n
+
3
Correction
lim
n
→
+
∞
u
n
=
lim
n
→
+
∞
−
2
n
2
−
4
n
+
3
\lim\limits_{n\to +\infty } u_{n} =\lim\limits_{n\to +\infty } -2n^{2} -4n+3
n
→
+
∞
lim
u
n
=
n
→
+
∞
lim
−
2
n
2
−
4
n
+
3
Nous savons que
lim
n
→
+
∞
n
2
=
+
∞
\lim\limits_{n\to +\infty } n^{2}=+\infty
n
→
+
∞
lim
n
2
=
+
∞
ainsi
lim
n
→
+
∞
−
2
n
2
=
−
∞
\lim\limits_{n\to +\infty } -2n^{2}=-\infty
n
→
+
∞
lim
−
2
n
2
=
−
∞
.
Il vient alors que :
lim
n
→
+
∞
−
2
n
2
=
−
∞
lim
n
→
+
∞
−
4
n
=
−
∞
lim
n
→
+
∞
3
=
3
}
\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } -2n^{2} } & {=} & {-\infty } \\ {\lim\limits_{n\to +\infty } -4n} & {=} & {-\infty} \\ {\lim\limits_{n\to +\infty } 3} & {=} & {3}\end{array}\right\}
n
→
+
∞
lim
−
2
n
2
n
→
+
∞
lim
−
4
n
n
→
+
∞
lim
3
=
=
=
−
∞
−
∞
3
⎭
⎬
⎫
par addition
\text{\red{par addition}}
par addition
lim
n
→
+
∞
−
2
n
2
−
4
n
+
3
=
−
∞
\lim\limits_{n\to +\infty } -2n^{2} -4n+3=-\infty
n
→
+
∞
lim
−
2
n
2
−
4
n
+
3
=
−
∞
Ainsi :
lim
n
→
+
∞
u
n
=
−
∞
\lim\limits_{n\to +\infty } u_{n}=-\infty
n
→
+
∞
lim
u
n
=
−
∞
Question 7
u
n
=
2
n
u_{n} =\frac{2}{n}
u
n
=
n
2
Correction
Si on rencontre une forme
Nombre
∞
\frac{\text{Nombre}}{\infty }
∞
Nombre
alors la limite sera égale à zéro.
lim
n
→
+
∞
u
n
=
lim
n
→
+
∞
2
n
\lim\limits_{n\to +\infty } u_{n} =\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{2}{n}
n
→
+
∞
lim
u
n
=
n
→
+
∞
lim
n
2
Il vient alors que :
lim
n
→
+
∞
2
=
2
lim
n
→
+
∞
n
=
+
∞
}
\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } 2 } & {=} & {2 } \\ {\lim\limits_{n\to +\infty } n} & {=} & {+\infty} \end{array}\right\}
n
→
+
∞
lim
2
n
→
+
∞
lim
n
=
=
2
+
∞
}
par quotient
\text{\red{par quotient}}
par quotient
lim
n
→
+
∞
2
n
=
0
\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{2}{n}=0
n
→
+
∞
lim
n
2
=
0
Ainsi :
lim
n
→
+
∞
u
n
=
0
\lim\limits_{n\to +\infty } u_{n}=0
n
→
+
∞
lim
u
n
=
0
Question 8
u
n
=
5
n
+
7
u_{n} =\frac{5}{n}+7
u
n
=
n
5
+
7
Correction
Si on rencontre une forme
Nombre
∞
\frac{\text{Nombre}}{\infty }
∞
Nombre
alors la limite sera égale à zéro.
lim
n
→
+
∞
u
n
=
lim
n
→
+
∞
5
n
+
7
\lim\limits_{n\to +\infty } u_{n} =\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{5}{n}+7
n
→
+
∞
lim
u
n
=
n
→
+
∞
lim
n
5
+
7
Dans un premier temps :
\text{\blue{Dans un premier temps :}}
Dans un premier temps :
lim
n
→
+
∞
5
=
5
lim
n
→
+
∞
n
=
+
∞
}
\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } 5 } & {=} & {5 } \\ {\lim\limits_{n\to +\infty } n} & {=} & {+\infty} \end{array}\right\}
n
→
+
∞
lim
5
n
→
+
∞
lim
n
=
=
5
+
∞
}
par quotient
\text{\red{par quotient}}
par quotient
lim
n
→
+
∞
5
n
=
0
\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{5}{n}=0
n
→
+
∞
lim
n
5
=
0
Dans un second temps :
\text{\blue{Dans un second temps :}}
Dans un second temps :
lim
n
→
+
∞
5
n
=
0
lim
n
→
+
∞
7
=
7
}
\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{5}{n} } & {=} & {0 } \\ {\lim\limits_{n\to +\infty } 7} & {=} & {7} \end{array}\right\}
n
→
+
∞
lim
n
5
n
→
+
∞
lim
7
=
=
0
7
}
par addition
\text{\red{par addition}}
par addition
lim
n
→
+
∞
5
n
+
7
=
7
\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{5}{n}+7=7
n
→
+
∞
lim
n
5
+
7
=
7
Ainsi :
lim
n
→
+
∞
u
n
=
7
\lim\limits_{n\to +\infty } u_{n}=7
n
→
+
∞
lim
u
n
=
7