Limites de suites en utilisant les opérations - Exercice 1

15 min
30
Déterminer les limites des suites (un)(u_{n} ) suivantes :
Question 1

un=n+3u_{n} =n+3

Correction
lim⁡n→+∞un=lim⁡n→+∞n+3\lim\limits_{n\to +\infty } u_{n} =\lim\limits_{n\to +\infty } n+3
Il vient alors que :
lim⁡n→+∞n=+∞lim⁡n→+∞3=3}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } n } & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{n\to +\infty } 3} & {=} & {3} \end{array}\right\} par addition\text{\red{par addition}}
lim⁡n→+∞n+3=+∞\lim\limits_{n\to +\infty } n+3=+\infty

Ainsi : lim⁡n→+∞un=+∞\lim\limits_{n\to +\infty } u_{n}=+\infty
Question 2

un=2n−4u_{n} =2n-4

Correction
lim⁡n→+∞un=lim⁡n→+∞2n−4\lim\limits_{n\to +\infty } u_{n} =\lim\limits_{n\to +\infty } 2n-4
Nous savons que lim⁡n→+∞n=+∞\lim\limits_{n\to +\infty } n=+\infty ainsi lim⁡n→+∞2n=+∞\lim\limits_{n\to +\infty } 2n=+\infty .
Il vient alors que :
lim⁡n→+∞2n=+∞lim⁡n→+∞−4=−4}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } 2n } & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{n\to +\infty } -4} & {=} & {-4} \end{array}\right\} par addition\text{\red{par addition}}
lim⁡n→+∞2n−4=+∞\lim\limits_{n\to +\infty } 2n-4=+\infty

Ainsi : lim⁡n→+∞un=+∞\lim\limits_{n\to +\infty } u_{n}=+\infty
Question 3

un=n−9u_{n} =\sqrt{n} -9

Correction
lim⁡n→+∞un=lim⁡n→+∞n−9\lim\limits_{n\to +\infty } u_{n} =\lim\limits_{n\to +\infty } \sqrt{n} -9
Il vient alors que :
lim⁡n→+∞n=+∞lim⁡n→+∞−9=−9}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } \sqrt{n} } & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{n\to +\infty } -9} & {=} & {-9} \end{array}\right\} par addition\text{\red{par addition}}
lim⁡n→+∞n−9=+∞\lim\limits_{n\to +\infty } \sqrt{n} -9=+\infty

Ainsi : lim⁡n→+∞un=+∞\lim\limits_{n\to +\infty } u_{n}=+\infty
Question 4

un=n2+6n−5u_{n} =n^{2} +6n-5

Correction
lim⁡n→+∞un=lim⁡n→+∞n2+6n−5\lim\limits_{n\to +\infty } u_{n} =\lim\limits_{n\to +\infty } n^{2} +6n-5
Il vient alors que :
lim⁡n→+∞n2=+∞lim⁡n→+∞6n=+∞lim⁡n→+∞−5=−5}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } n^{2} } & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{n\to +\infty } 6n} & {=} & {+\infty} \\ {\lim\limits_{n\to +\infty } -5} & {=} & {-5}\end{array}\right\} par addition\text{\red{par addition}}
lim⁡n→+∞n2+6n−5=+∞\lim\limits_{n\to +\infty } n^{2} +6n-5=+\infty

Ainsi : lim⁡n→+∞un=+∞\lim\limits_{n\to +\infty } u_{n}=+\infty
Question 5

un=−5n+2u_{n} =-5n+2

Correction
lim⁡n→+∞un=lim⁡n→+∞−5n+2\lim\limits_{n\to +\infty } u_{n} =\lim\limits_{n\to +\infty } -5n+2
Nous savons que lim⁡n→+∞n=+∞\lim\limits_{n\to +\infty } n=+\infty ainsi lim⁡n→+∞−5n=−∞\lim\limits_{n\to +\infty } -5n=-\infty .
Il vient alors que :
lim⁡n→+∞−5n=−∞lim⁡n→+∞2=2}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } -5n } & {=} & {-\infty } \\ {\lim\limits_{n\to +\infty } 2} & {=} & {2} \end{array}\right\} par addition\text{\red{par addition}}
lim⁡n→+∞−5n+2=−∞\lim\limits_{n\to +\infty } -5n+2=-\infty

Ainsi : lim⁡n→+∞un=−∞\lim\limits_{n\to +\infty } u_{n}=-\infty
Question 6

un=−2n2−4n+3u_{n} =-2n^{2} -4n+3

Correction
lim⁡n→+∞un=lim⁡n→+∞−2n2−4n+3\lim\limits_{n\to +\infty } u_{n} =\lim\limits_{n\to +\infty } -2n^{2} -4n+3
Nous savons que lim⁡n→+∞n2=+∞\lim\limits_{n\to +\infty } n^{2}=+\infty ainsi lim⁡n→+∞−2n2=−∞\lim\limits_{n\to +\infty } -2n^{2}=-\infty .
Il vient alors que :

lim⁡n→+∞−2n2=−∞lim⁡n→+∞−4n=−∞lim⁡n→+∞3=3}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } -2n^{2} } & {=} & {-\infty } \\ {\lim\limits_{n\to +\infty } -4n} & {=} & {-\infty} \\ {\lim\limits_{n\to +\infty } 3} & {=} & {3}\end{array}\right\} par addition\text{\red{par addition}}
lim⁡n→+∞−2n2−4n+3=−∞\lim\limits_{n\to +\infty } -2n^{2} -4n+3=-\infty

Ainsi : lim⁡n→+∞un=−∞\lim\limits_{n\to +\infty } u_{n}=-\infty
Question 7

un=2nu_{n} =\frac{2}{n}

Correction
  • Si on rencontre une forme Nombre∞\frac{\text{Nombre}}{\infty } alors la limite sera égale à zéro.
    • lim⁡n→+∞un=lim⁡n→+∞2n\lim\limits_{n\to +\infty } u_{n} =\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{2}{n}
    Il vient alors que :
    lim⁡n→+∞2=2lim⁡n→+∞n=+∞}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } 2 } & {=} & {2 } \\ {\lim\limits_{n\to +\infty } n} & {=} & {+\infty} \end{array}\right\} par quotient\text{\red{par quotient}}
    lim⁡n→+∞2n=0\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{2}{n}=0

    Ainsi : lim⁡n→+∞un=0\lim\limits_{n\to +\infty } u_{n}=0
    Question 8

    un=5n+7u_{n} =\frac{5}{n}+7

    Correction
  • Si on rencontre une forme Nombre∞\frac{\text{Nombre}}{\infty } alors la limite sera égale à zéro.
    • lim⁡n→+∞un=lim⁡n→+∞5n+7\lim\limits_{n\to +\infty } u_{n} =\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{5}{n}+7
    Dans un premier temps :\text{\blue{Dans un premier temps :}}
    lim⁡n→+∞5=5lim⁡n→+∞n=+∞}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } 5 } & {=} & {5 } \\ {\lim\limits_{n\to +\infty } n} & {=} & {+\infty} \end{array}\right\} par quotient\text{\red{par quotient}}
    lim⁡n→+∞5n=0\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{5}{n}=0

    Dans un second temps :\text{\blue{Dans un second temps :}}
    lim⁡n→+∞5n=0lim⁡n→+∞7=7}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{5}{n} } & {=} & {0 } \\ {\lim\limits_{n\to +\infty } 7} & {=} & {7} \end{array}\right\} par addition\text{\red{par addition}}
    lim⁡n→+∞5n+7=7\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{5}{n}+7=7

    Ainsi : lim⁡n→+∞un=7\lim\limits_{n\to +\infty } u_{n}=7

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