Suites et limites
Limites de suites en utilisant les opérations
Exercice 1
Déterminer les limites des suites (un) suivantes :
1
un=n+3
Correction
n→+∞limun=n→+∞limn+3
Il vient alors que :
n→+∞limnn→+∞lim3==+∞3} par addition
Ainsi : n→+∞limun=+∞
Il vient alors que :
n→+∞limnn→+∞lim3==+∞3} par addition
n→+∞limn+3=+∞
Ainsi : n→+∞limun=+∞
2
un=2n−4
Correction
n→+∞limun=n→+∞lim2n−4
Nous savons que n→+∞limn=+∞ ainsi n→+∞lim2n=+∞.
Il vient alors que :
n→+∞lim2nn→+∞lim−4==+∞−4} par addition
Ainsi : n→+∞limun=+∞
Nous savons que n→+∞limn=+∞ ainsi n→+∞lim2n=+∞.
Il vient alors que :
n→+∞lim2nn→+∞lim−4==+∞−4} par addition
n→+∞lim2n−4=+∞
Ainsi : n→+∞limun=+∞
3
un=n−9
Correction
n→+∞limun=n→+∞limn−9
Il vient alors que :
n→+∞limnn→+∞lim−9==+∞−9} par addition
Ainsi : n→+∞limun=+∞
Il vient alors que :
n→+∞limnn→+∞lim−9==+∞−9} par addition
n→+∞limn−9=+∞
Ainsi : n→+∞limun=+∞
4
un=n2+6n−5
Correction
n→+∞limun=n→+∞limn2+6n−5
Il vient alors que :
n→+∞limn2n→+∞lim6nn→+∞lim−5===+∞+∞−5⎭⎪⎪⎬⎪⎪⎫ par addition
Ainsi : n→+∞limun=+∞
Il vient alors que :
n→+∞limn2n→+∞lim6nn→+∞lim−5===+∞+∞−5⎭⎪⎪⎬⎪⎪⎫ par addition
n→+∞limn2+6n−5=+∞
Ainsi : n→+∞limun=+∞
5
un=−5n+2
Correction
n→+∞limun=n→+∞lim−5n+2
Nous savons que n→+∞limn=+∞ ainsi n→+∞lim−5n=−∞.
Il vient alors que :
n→+∞lim−5nn→+∞lim2==−∞2} par addition
Ainsi : n→+∞limun=−∞
Nous savons que n→+∞limn=+∞ ainsi n→+∞lim−5n=−∞.
Il vient alors que :
n→+∞lim−5nn→+∞lim2==−∞2} par addition
n→+∞lim−5n+2=−∞
Ainsi : n→+∞limun=−∞
6
un=−2n2−4n+3
Correction
n→+∞limun=n→+∞lim−2n2−4n+3
Nous savons que n→+∞limn2=+∞ ainsi n→+∞lim−2n2=−∞.
Il vient alors que :
n→+∞lim−2n2n→+∞lim−4nn→+∞lim3===−∞−∞3⎭⎪⎪⎬⎪⎪⎫ par addition
Ainsi : n→+∞limun=−∞
Nous savons que n→+∞limn2=+∞ ainsi n→+∞lim−2n2=−∞.
Il vient alors que :
n→+∞lim−2n2n→+∞lim−4nn→+∞lim3===−∞−∞3⎭⎪⎪⎬⎪⎪⎫ par addition
n→+∞lim−2n2−4n+3=−∞
Ainsi : n→+∞limun=−∞
7
un=n2
Correction
Il vient alors que :
n→+∞lim2n→+∞limn==2+∞} par quotient
n→+∞limn2=0
Ainsi : n→+∞limun=0
8
un=n5+7
Correction
Dans un premier temps :
n→+∞lim5n→+∞limn==5+∞} par quotient
n→+∞limn5=0
Dans un second temps :
n→+∞limn5n→+∞lim7==07} par addition
n→+∞limn5+7=7
Ainsi : n→+∞limun=7
Exercice 2
Déterminer les limites des suites (un) suivantes :
1
un=nn+1
Correction
n→+∞limun=n→+∞limnn+1
n→+∞limn+1n→+∞limn==+∞+∞} par quotient, nous avons une forme indeˊtermineˊe .
Pour relever cette indétermination, nous allons donc transformer l'expression de la suite (un) .
Ainsi :
un=nn+1=nn+n1=1+n1
Si on rencontre une forme ∞Nombre alors la limite sera égale à zéro. Il vient alors que :
n→+∞lim1n→+∞limn1==10} par addition
Finalement : n→+∞limun=1
n→+∞limn+1n→+∞limn==+∞+∞} par quotient, nous avons une forme indeˊtermineˊe .
Pour relever cette indétermination, nous allons donc transformer l'expression de la suite (un) .
Ainsi :
un=nn+1=nn+n1=1+n1
n→+∞lim1n→+∞limn1==10} par addition
n→+∞lim1+n1=1
Finalement : n→+∞limun=1
2
un=n−5n−3
Correction
n→+∞limun=n→+∞limn−5n−3
n→+∞lim−5n−3n→+∞limn==−∞+∞} par quotient, nous avons une forme indeˊtermineˊe .
Pour relever cette indétermination, nous allons donc transformer l'expression de la suite (un) .
Ainsi :
un=n−5n−3=n−5n−n3=−5−n3
Si on rencontre une forme ∞Nombre alors la limite sera égale à zéro. Il vient alors que :
n→+∞lim−5n→+∞lim−n3==−50} par addition
Finalement : n→+∞limun=−5
n→+∞lim−5n−3n→+∞limn==−∞+∞} par quotient, nous avons une forme indeˊtermineˊe .
Pour relever cette indétermination, nous allons donc transformer l'expression de la suite (un) .
Ainsi :
un=n−5n−3=n−5n−n3=−5−n3
n→+∞lim−5n→+∞lim−n3==−50} par addition
n→+∞lim−5−n3=−5
Finalement : n→+∞limun=−5
3
un=n−3−6
Correction
Il vient alors que :
n→+∞lim−6n→+∞limn−3==−6+∞} par quotient
n→+∞limn−3−6=0
Ainsi : n→+∞limun=0
4
un=(n+1)(n+3)
Correction
n→+∞limun=n→+∞lim(n+1)(n+3)
Il vient alors que :
n→+∞limn+1n→+∞limn+3==+∞+∞} par produit
Ainsi : n→+∞limun=+∞
Il vient alors que :
n→+∞limn+1n→+∞limn+3==+∞+∞} par produit
n→+∞lim(n+1)(n+3)=+∞
Ainsi : n→+∞limun=+∞
5
un=(2n+4)(−n+6)
Correction
n→+∞limun=n→+∞lim(2n+4)(−n+6)
Nous savons que n→+∞limn=+∞ ainsi n→+∞lim2n=+∞.
Nous savons que n→+∞limn=+∞ ainsi n→+∞lim−n=−∞.
Il vient alors que :
n→+∞lim2n+4n→+∞lim−n+6==+∞−∞} par produit
Ainsi : n→+∞limun=−∞
Nous savons que n→+∞limn=+∞ ainsi n→+∞lim2n=+∞.
Nous savons que n→+∞limn=+∞ ainsi n→+∞lim−n=−∞.
Il vient alors que :
n→+∞lim2n+4n→+∞lim−n+6==+∞−∞} par produit
n→+∞lim(2n+4)(−n+6)=−∞
Ainsi : n→+∞limun=−∞
6
un=n+92
Correction
Il vient alors que :
n→+∞lim2n→+∞limn+9==2+∞} par quotient
n→+∞limn+92=0
Ainsi : n→+∞limun=0
Exercice 3
Déterminer les limites des suites (un) suivantes :
1
un=(2−n1)(3+n4)
Correction
n→+∞lim2−n1n→+∞lim3+n4==23} par produit :
Finalement : n→+∞limun=6
n→+∞lim(2−n1)(3+n4)=6
Finalement : n→+∞limun=6
Si on rencontre une forme ∞Nombre alors la limite sera égale à zéro.
2
un=(5−n)(2−n6)
Correction
n→+∞lim5−nn→+∞lim2−n6==−∞2} par produit :
Finalement : n→+∞limun=−∞
n→+∞lim(5−n)(2−n6)=−∞
Finalement : n→+∞limun=−∞
Si on rencontre une forme ∞Nombre alors la limite sera égale à zéro.
3
un=n2n2+3
Correction
n→+∞limun=n→+∞limn2n2+3
n→+∞limn2+3n→+∞limn2==+∞+∞} par quotient, nous avons une forme indeˊtermineˊe .
Pour relever cette indétermination, nous allons donc transformer l'expression de la suite (un) .
Ainsi :
un=n2n2+3=n2n2+n23=1+n23
Si on rencontre une forme ∞Nombre alors la limite sera égale à zéro. Il vient alors que :
n→+∞lim1n→+∞limn23==10} par addition
Finalement : n→+∞limun=1
n→+∞limn2+3n→+∞limn2==+∞+∞} par quotient, nous avons une forme indeˊtermineˊe .
Pour relever cette indétermination, nous allons donc transformer l'expression de la suite (un) .
Ainsi :
un=n2n2+3=n2n2+n23=1+n23
n→+∞lim1n→+∞limn23==10} par addition
n→+∞lim1+n23=1
Finalement : n→+∞limun=1
4
un=5003n+1
Correction
n→+∞lim3n+1n→+∞lim500==+∞500} par quotient :
Finalement : n→+∞limun=+∞
n→+∞lim5003n+1=+∞
Finalement : n→+∞limun=+∞
5
un=n+n−95
Correction
n→+∞lim5n→+∞limn+n−9==5+∞} par quotient :
Finalement : n→+∞limun=0
n→+∞limn+n−95=0
Finalement : n→+∞limun=0
Si on rencontre une forme ∞Nombre alors la limite sera égale à zéro.
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