Suites et limites

Lever une forme indéterminée à l'aide de la factorisation - Exercice 2

15 min
25
Calculer les limites suivantes :
Question 1

lim⁡n→+∞n2−4n+7{\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} n^{2} -4n+7

Correction
lim⁡n→+∞n2=+∞lim⁡n→+∞−4n+7=−∞}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } n^{2} } & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{n\to +\infty } -4n+7} & {=} & {-\infty } \end{array}\right\} nous rencontrons une forme indéterminée de la forme +∞−∞+\infty -\infty
Pour lever cette indeˊtermination, nous allons factoriser par le monoˆme de plus haut degreˊ.\blue{\text{Pour lever cette indétermination, nous allons factoriser par le monôme de plus haut degré.}} Ici, en l’occurrence par\blue{\text{Ici, en l'occurrence par}} n2\blue{n^{2} }.
lim⁡n→+∞n2−4n+7=lim⁡n→+∞n2(n2−4n+7n2){\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} n^{2} -4n+7={\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} n^{2} \left(\frac{n^{2} -4n+7}{n^{2} } \right)
lim⁡n→+∞n2−4n+7=lim⁡n→+∞n2(n2n2−4nn2+7n2){\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} n^{2} -4n+7={\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} n^{2} \left(\frac{n^{2} }{n^{2} } -\frac{4n}{n^{2} } +\frac{7}{n^{2} } \right)
lim⁡n→+∞n2−4n+7=lim⁡n→+∞n2(1−4n+7n2){\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} n^{2} -4n+7={\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} n^{2} \left(1-\frac{4}{n} +\frac{7}{n^{2} } \right)
lim⁡n→+∞n2=+∞lim⁡n→+∞1−4n+7n2=1}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } n^{2} } & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{n\to +\infty } 1-\frac{4}{n} +\frac{7}{n^{2} } } & {=} & {1} \end{array}\right\} par produit\text{\red{par produit}}
lim⁡n→+∞n2(1−4n+7n2)=+∞{\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} n^{2} \left(1-\frac{4}{n} +\frac{7}{n^{2} } \right)=+\infty

Finalement :\text{\purple{Finalement :}}lim⁡n→+∞n2−4n+7=+∞\lim\limits_{n\to +\infty } n^{2} -4n+7=+\infty
Si on rencontre une forme Nombre∞\frac{Nombre}{\infty } alors la limite sera égale à zéro.
Question 2

lim⁡n→+∞−3n2+7n−5{\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} -3n^{2} +7n-5

Correction
lim⁡n→+∞−3n2=−∞lim⁡n→+∞7n−5=+∞}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } -3n^{2} } & {=} & {-\infty } \\ {\lim\limits_{n\to +\infty } 7n-5} & {=} & {+\infty } \end{array}\right\} nous rencontrons une forme indéterminée de la forme −∞+∞-\infty +\infty
Pour lever cette indeˊtermination, nous allons factoriser par le monoˆme de plus haut degreˊ.\blue{\text{Pour lever cette indétermination, nous allons factoriser par le monôme de plus haut degré.}} Ici, en l’occurrence par\blue{\text{Ici, en l'occurrence par}} n2\blue{n^{2} }.
lim⁡n→+∞−3n2+7n−5=lim⁡n→+∞n2(−3n2+7n−5n2){\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} -3n^{2} +7n-5={\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} n^{2} \left(\frac{-3n^{2} +7n-5}{n^{2} } \right)
lim⁡n→+∞−3n2+7n−5=lim⁡n→+∞n2(−3n2n2+7nn2−5n2){\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} -3n^{2} +7n-5={\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} n^{2} \left(-\frac{3n^{2} }{n^{2} } +\frac{7n}{n^{2} } -\frac{5}{n^{2} } \right)
lim⁡n→+∞−3n2+7n−5=lim⁡n→+∞n2(−3+7n−5n2){\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} -3n^{2} +7n-5={\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} n^{2} \left(-3+\frac{7}{n} -\frac{5}{n^{2} } \right)
lim⁡n→+∞n2=+∞lim⁡n→+∞−3+7n−5n2=−3}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } n^{2} } & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{n\to +\infty } -3+\frac{7}{n} -\frac{5}{n^{2} } } & {=} & {-3} \end{array}\right\} par produit\text{\red{par produit}}
lim⁡n→+∞n2(−3+7n−5n2)=−∞{\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} n^{2} \left(-3+\frac{7}{n} -\frac{5}{n^{2} } \right)=-\infty

Finalement :\text{\purple{Finalement :}} lim⁡n→+∞−3n2+7n−5=−∞\lim\limits_{n\to +\infty } -3n^{2} +7n-5=-\infty
Si on rencontre une forme Nombre∞\frac{Nombre}{\infty } alors la limite sera égale à zéro.
Question 3

lim⁡n→+∞n3−n2−1{\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} n^{3} -n^{2} -1

Correction
lim⁡n→+∞n3=+∞lim⁡n→+∞−n2−1=−∞}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } n^{3} } & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{n\to +\infty } -n^{2} -1} & {=} & {-\infty } \end{array}\right\} nous rencontrons une forme indéterminée de la forme −∞+∞-\infty +\infty
Pour lever cette indeˊtermination, nous allons factoriser par le monoˆme de plus haut degreˊ.\blue{\text{Pour lever cette indétermination, nous allons factoriser par le monôme de plus haut degré.}} Ici, en l’occurrence par\blue{\text{Ici, en l'occurrence par}} n3\blue{n^{3} }.
lim⁡n→+∞n3−n2−1=lim⁡n→+∞n3(n3−n2−1n3){\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} n^{3} -n^{2} -1={\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} n^{3} \left(\frac{n^{3} -n^{2} -1}{n^{3} } \right)
lim⁡n→+∞n3−n2−1=lim⁡n→+∞n3(n3n3−n2n3−1n3){\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} n^{3} -n^{2} -1={\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} n^{3} \left(\frac{n^{3} }{n^{3} } -\frac{n^{2} }{n^{3} } -\frac{1}{n^{3} } \right)
lim⁡n→+∞n3−n2−1=lim⁡n→+∞n3(1−1n−1n3){\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} n^{3} -n^{2} -1={\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} n^{3} \left(1-\frac{1}{n} -\frac{1}{n^{3} } \right)
lim⁡n→+∞n3=+∞lim⁡n→+∞1−1n−1n3=1}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } n^{3} } & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{n\to +\infty } 1-\frac{1}{n} -\frac{1}{n^{3} } } & {=} & {1} \end{array}\right\} par produit\text{\red{par produit}}
lim⁡n→+∞n3(1−1n−1n3)=+∞{\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} n^{3} \left(1-\frac{1}{n} -\frac{1}{n^{3} } \right)=+\infty

Finalement :\text{\purple{Finalement :}} lim⁡n→+∞n3−n2−1=+∞\lim\limits_{n\to +\infty } n^{3} -n^{2} -1=+\infty
Si on rencontre une forme Nombre∞\frac{Nombre}{\infty } alors la limite sera égale à zéro.
Question 4

lim⁡n→+∞−5n3+2n2+8n−4{\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} -5n^{3} +2n^{2} +8n-4

Correction
lim⁡n→+∞−5n3=−∞lim⁡n→+∞2n2+8n−4=+∞}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } -5n^{3} } & {=} & {-\infty } \\ {\lim\limits_{n\to +\infty } 2n^{2} +8n-4} & {=} & {+\infty } \end{array}\right\} nous rencontrons une forme indéterminée de la forme −∞+∞-\infty +\infty
Pour lever cette indeˊtermination, nous allons factoriser par le monoˆme de plus haut degreˊ.\blue{\text{Pour lever cette indétermination, nous allons factoriser par le monôme de plus haut degré.}} Ici, en l’occurrence par\blue{\text{Ici, en l'occurrence par}} n3\blue{n^{3} }.
lim⁡n→+∞−5n3+2n2+8n−4=lim⁡n→+∞n3(−5n3+2n2+8n−4n3){\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} -5n^{3} +2n^{2} +8n-4={\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} n^{3} \left(\frac{-5n^{3} +2n^{2} +8n-4}{n^{3} } \right)
lim⁡n→+∞−5n3+2n2+8n−4=lim⁡n→+∞n3(−5n3n3+2n2n3+8nn3−4n3){\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} -5n^{3} +2n^{2} +8n-4={\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} n^{3} \left(-\frac{5n^{3} }{n^{3} } +\frac{2n^{2} }{n^{3} } +\frac{8n}{n^{3} } -\frac{4}{n^{3} } \right)
lim⁡n→+∞−5n3+2n2+8n−4=lim⁡n→+∞n3(−5+2n+8n2−4n3){\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} -5n^{3} +2n^{2} +8n-4={\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} n^{3} \left(-5+\frac{2}{n} +\frac{8}{n^{2} } -\frac{4}{n^{3} } \right)
lim⁡n→+∞n3=+∞lim⁡n→+∞−5+2n+8n2−4n3=−5}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } n^{3} } & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{n\to +\infty }-5+\frac{2}{n} +\frac{8}{n^{2} } -\frac{4}{n^{3} } } & {=} & {-5} \end{array}\right\} par produit\text{\red{par produit}}
lim⁡n→+∞n3(−5+2n+8n2−4n3)=−∞{\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} n^{3} \left(-5+\frac{2}{n} +\frac{8}{n^{2} } -\frac{4}{n^{3} } \right)=-\infty

Finalement :\text{\purple{Finalement :}} lim⁡n→+∞−5n3+2n2+8n−4=−∞\lim\limits_{n\to +\infty } -5n^{3} +2n^{2} +8n-4=-\infty
Si on rencontre une forme Nombre∞\frac{Nombre}{\infty } alors la limite sera égale à zéro.