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Lever une forme indéterminée à l'aide de la factorisation (quotient) - Exercice 2

20 min
40
Calculer les limites suivantes :
Question 1

lim⁡n→+∞n+25n+7\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{n+2}{5n+7}

Correction
lim⁡n→+∞n+2=+∞lim⁡n→+∞5n+7=+∞}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } n+2} & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{n\to +\infty } 5n+7} & {=} & {+\infty } \end{array}\right\} on obtient une forme indéterminée ∞∞\frac{\infty }{\infty }
 On va factoriser le numeˊrateur par le monoˆme de plus haut degreˊ c’est aˋ dire par \blue{\text{ On va factoriser le numérateur par le monôme de plus haut degré c'est à dire par }} n\blue{n}  et le deˊnominateur par le monoˆme de plus haut degreˊ c’est aˋ dire par \blue{\text{ et le dénominateur par le monôme de plus haut degré c'est à dire par }} n\blue{n}
lim⁡n→+∞n+25n+7=lim⁡n→+∞n(n+2n)n(5n+7n){\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{n+2}{5n+7} ={\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{n\left(\frac{n+2}{n} \right)}{n\left(\frac{5n+7}{n} \right)}
lim⁡n→+∞n+25n+7=lim⁡n→+∞n(nn+2n)n(5nn+7n){\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{n+2}{5n+7} ={\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{n\left(\frac{n}{n} +\frac{2}{n} \right)}{n\left(\frac{5n}{n} +\frac{7}{n} \right)}
lim⁡n→+∞n+25n+7=lim⁡n→+∞n(1+2n)n(5+7n){\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{n+2}{5n+7} ={\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{n\left(1+\frac{2}{n} \right)}{n\left(5+\frac{7}{n} \right)} . Nous allons maintenant simplifier le numérateur et le dénominateur par nn
lim⁡n→+∞n+25n+7=lim⁡n→+∞1+2n5+7n{\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{n+2}{5n+7} ={\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{1+\frac{2}{n} }{5+\frac{7}{n} }
lim⁡n→+∞1+2n=1lim⁡n→+∞5+7n=5}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } 1+\frac{2}{n} } & {=} & {1 } \\ {\lim\limits_{n\to +\infty }5+\frac{7}{n} } & {=} & {5} \end{array}\right\} par quotient\text{\red{par quotient}}
lim⁡n→+∞1+2n5+7n=15{\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{1+\frac{2}{n} }{5+\frac{7}{n} }=\frac{1}{5}

Finalement :\text{\purple{Finalement :}}
lim⁡n→+∞n+25n+7=15\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{n+2}{5n+7} =\frac{1}{5}

Question 2

lim⁡n→+∞−2n2−1n2+9\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{-2n^{2}-1}{n^{2}+9}

Correction
lim⁡n→+∞−2n2−1=−∞lim⁡n→+∞n2+9=+∞}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } -2n^{2}-1} & {=} & {-\infty } \\ {\lim\limits_{n\to +\infty } n^{2}+9} & {=} & {+\infty } \end{array}\right\} on obtient une forme indéterminée ∞∞\frac{\infty }{\infty }
 On va factoriser le numeˊrateur par le monoˆme de plus haut degreˊ c’est aˋ dire par \blue{\text{ On va factoriser le numérateur par le monôme de plus haut degré c'est à dire par }} n2\blue{n^{2}}  et le deˊnominateur par le monoˆme de plus haut degreˊ c’est aˋ dire par \blue{\text{ et le dénominateur par le monôme de plus haut degré c'est à dire par }} n2\blue{n^{2}}
lim⁡n→+∞−2n2−1n2+9=lim⁡n→+∞n2(−2n2−1n2)n2(n2+9n2){\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{-2n^{2} -1}{n^{2} +9} ={\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{n^{2} \left(\frac{-2n^{2} -1}{n^{2} } \right)}{n^{2} \left(\frac{n^{2} +9}{n^{2} } \right)}
lim⁡n→+∞−2n2−1n2+9=lim⁡n→+∞n2(−2n2n2−1n2)n2(n2n2+9n2){\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{-2n^{2} -1}{n^{2} +9} ={\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{n^{2} \left(-\frac{2n^{2} }{n^{2} } -\frac{1}{n^{2} } \right)}{n^{2} \left(\frac{n^{2} }{n^{2} } +\frac{9}{n^{2} } \right)}
lim⁡n→+∞−2n2−1n2+9=lim⁡n→+∞n2(−2−1n2)n2(1+9n2){\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{-2n^{2} -1}{n^{2} +9} ={\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{n^{2} \left(-2-\frac{1}{n^{2} } \right)}{n^{2} \left(1+\frac{9}{n^{2} } \right)} . Nous allons maintenant simplifier le numérateur et le dénominateur par n2n^{2}
lim⁡n→+∞−2n2−1n2+9=lim⁡n→+∞−2−1n21+9n2{\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{-2n^{2} -1}{n^{2} +9} ={\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{-2-\frac{1}{n^{2} } }{1+\frac{9}{n^{2} } }
lim⁡n→+∞−2−1n2=−2lim⁡n→+∞1+9n2=1}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } -2-\frac{1}{n^{2}} } & {=} & {-2} \\ {\lim\limits_{n\to +\infty }1+\frac{9}{n^{2}} } & {=} & {1} \end{array}\right\} par quotient :\text{\red{par quotient :}}
lim⁡n→+∞−2−1n21+9n2=−2{\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{-2-\frac{1}{n^{2} } }{1+\frac{9}{n^{2} } }=-2

Finalement :\text{\purple{Finalement :}}
lim⁡n→+∞−2n2−1n2+9=−2\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{-2n^{2}-1}{n^{2}+9} =-2
Question 3

lim⁡n→+∞n2+3nn+5\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{n^{2}+3n}{n+5}

Correction
lim⁡n→+∞n2+3n=+∞lim⁡n→+∞n+5=+∞}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } n^{2}+3n} & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{n\to +\infty }n+5} & {=} & {+\infty } \end{array}\right\} on obtient une forme indéterminée ∞∞\frac{\infty }{\infty }
 On va factoriser le numeˊrateur par le monoˆme de plus haut degreˊ c’est aˋ dire par \blue{\text{ On va factoriser le numérateur par le monôme de plus haut degré c'est à dire par }} n2\blue{n^{2}}  et le deˊnominateur par le monoˆme de plus haut degreˊ c’est aˋ dire par \blue{\text{ et le dénominateur par le monôme de plus haut degré c'est à dire par }} n\blue{n}
lim⁡n→+∞n2+3nn+5=lim⁡n→+∞n2(n2+3nn2)n(n+5n){\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{n^{2} +3n}{n+5} ={\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{n^{2} \left(\frac{n^{2} +3n}{n^{2} } \right)}{n\left(\frac{n+5}{n} \right)}
lim⁡n→+∞n2+3nn+5=lim⁡n→+∞n2(n2n2+3nn2)n(nn+5n){\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{n^{2} +3n}{n+5} ={\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{n^{2} \left(\frac{n^{2} }{n^{2} } +\frac{3n}{n^{2} } \right)}{n\left(\frac{n}{n} +\frac{5}{n} \right)}
lim⁡n→+∞n2+3nn+5=lim⁡n→+∞n2(1+3n)n(1+5n){\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{n^{2} +3n}{n+5} ={\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{n^{2} \left(1+\frac{3}{n} \right)}{n\left(1+\frac{5}{n} \right)} . Nous allons maintenant simplifier le numérateur et le dénominateur par nn
lim⁡n→+∞n2+3nn+5=lim⁡n→+∞n(1+3n)1+5n{\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{n^{2} +3n}{n+5} ={\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{n\left(1+\frac{3}{n} \right)}{1+\frac{5}{n} }
lim⁡n→+∞n(1+3n)=+∞lim⁡n→+∞1+5n=1}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } n\left(1+\frac{3}{n}\right) } & {=} & {+\infty} \\ {\lim\limits_{n\to +\infty }1+\frac{5}{n} } & {=} & {1} \end{array}\right\} par quotient :\text{\red{par quotient :}}
lim⁡n→+∞n(1+3n)1+5n=+∞{\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{n\left(1+\frac{3}{n} \right)}{1+\frac{5}{n} }=+\infty

Finalement :\text{\purple{Finalement :}}
lim⁡n→+∞n2+3nn+5=+∞\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{n^{2}+3n}{n+5} =+\infty

Question 4

lim⁡n→+∞n+1n2+7n−2\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{n+1}{n^{2}+7n-2}

Correction
lim⁡n→+∞n+1=+∞lim⁡n→+∞n2+7n−2=+∞}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } n+1} & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{n\to +\infty }n^{2}+7n-2} & {=} & {+\infty } \end{array}\right\} on obtient une forme indéterminée ∞∞\frac{\infty }{\infty }
 On va factoriser le numeˊrateur par le monoˆme de plus haut degreˊ c’est aˋ dire par \blue{\text{ On va factoriser le numérateur par le monôme de plus haut degré c'est à dire par }} n\blue{n}  et le deˊnominateur par le monoˆme de plus haut degreˊ c’est aˋ dire par \blue{\text{ et le dénominateur par le monôme de plus haut degré c'est à dire par }} n2\blue{n^{2}}
lim⁡n→+∞n+1n2+7n−2=lim⁡n→+∞n(n+1n)n2(n2+7n−2n2){\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{n+1}{n^{2} +7n-2} ={\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{n\left(\frac{n+1}{n} \right)}{n^{2} \left(\frac{n^{2} +7n-2}{n^{2} } \right)}
lim⁡n→+∞n+1n2+7n−2=lim⁡n→+∞n(nn+1n)n2(n2n2+7nn2−2n2){\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{n+1}{n^{2} +7n-2} ={\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{n\left(\frac{n}{n} +\frac{1}{n} \right)}{n^{2} \left(\frac{n^{2} }{n^{2} } +\frac{7n}{n^{2} } -\frac{2}{n^{2} } \right)}
lim⁡n→+∞n+1n2+7n−2=lim⁡n→+∞n(1+1n)n2(1+7n−2n2){\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{n+1}{n^{2} +7n-2} ={\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{n\left(1+\frac{1}{n} \right)}{n^{2} \left(1+\frac{7}{n} -\frac{2}{n^{2} } \right)}
lim⁡n→+∞n+1n2+7n−2=lim⁡n→+∞1+1nn(1+7n−2n2){\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{n+1}{n^{2} +7n-2} ={\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{1+\frac{1}{n} }{n\left(1+\frac{7}{n} -\frac{2}{n^{2} } \right)}
lim⁡n→+∞1+1n=1lim⁡n→+∞n(1+7n−2n2)=+∞}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } 1+\frac{1}{n} } & {=} & {1} \\ {\lim\limits_{n\to +\infty }n\left(1+\frac{7}{n} -\frac{2}{n^{2} } \right) } & {=} & {+\infty} \end{array}\right\} par quotient :\text{\red{par quotient :}}
lim⁡n→+∞1+1nn(1+7n−2n2)=0{\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{1+\frac{1}{n} }{n\left(1+\frac{7}{n} -\frac{2}{n^{2} } \right)}=0

Finalement :\text{\purple{Finalement :}}
lim⁡n→+∞n+1n2+7n−2=0\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{n+1}{n^{2}+7n-2} =0

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