Lever une forme indéterminée à l'aide de la factorisation (quotient) - Exercice 2

$$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } n+2} & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{n\to +\infty } 5n+7} & {=} & {+\infty } \end{array}\right\}$$ on obtient une forme indéterminée $$\frac{\infty }{\infty }$$
$$\blue{\text{ On va factoriser le numérateur par le monôme de plus haut degré c'est à dire par }}$$ $$\blue{n}$$ $$\blue{\text{ et le dénominateur par le monôme de plus haut degré c'est à dire par }}$$ $$\blue{n}$$
$${\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{n+2}{5n+7} ={\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{n\left(\frac{n+2}{n} \right)}{n\left(\frac{5n+7}{n} \right)}$$
$${\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{n+2}{5n+7} ={\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{n\left(\frac{n}{n} +\frac{2}{n} \right)}{n\left(\frac{5n}{n} +\frac{7}{n} \right)}$$
$${\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{n+2}{5n+7} ={\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{n\left(1+\frac{2}{n} \right)}{n\left(5+\frac{7}{n} \right)}$$ . Nous allons maintenant simplifier le numérateur et le dénominateur par $$n$$
$${\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{n+2}{5n+7} ={\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{1+\frac{2}{n} }{5+\frac{7}{n} }$$
$$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } 1+\frac{2}{n} } & {=} & {1 } \\ {\lim\limits_{n\to +\infty }5+\frac{7}{n} } & {=} & {5} \end{array}\right\}$$ $$\text{\red{par quotient}}$$
$$\text{\purple{Finalement :}}$$

$$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } -2n^{2}-1} & {=} & {-\infty } \\ {\lim\limits_{n\to +\infty } n^{2}+9} & {=} & {+\infty } \end{array}\right\}$$ on obtient une forme indéterminée $$\frac{\infty }{\infty }$$
$$\blue{\text{ On va factoriser le numérateur par le monôme de plus haut degré c'est à dire par }}$$ $$\blue{n^{2}}$$ $$\blue{\text{ et le dénominateur par le monôme de plus haut degré c'est à dire par }}$$ $$\blue{n^{2}}$$
$${\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{-2n^{2} -1}{n^{2} +9} ={\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{n^{2} \left(\frac{-2n^{2} -1}{n^{2} } \right)}{n^{2} \left(\frac{n^{2} +9}{n^{2} } \right)}$$
$${\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{-2n^{2} -1}{n^{2} +9} ={\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{n^{2} \left(-\frac{2n^{2} }{n^{2} } -\frac{1}{n^{2} } \right)}{n^{2} \left(\frac{n^{2} }{n^{2} } +\frac{9}{n^{2} } \right)}$$
$${\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{-2n^{2} -1}{n^{2} +9} ={\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{n^{2} \left(-2-\frac{1}{n^{2} } \right)}{n^{2} \left(1+\frac{9}{n^{2} } \right)}$$ . Nous allons maintenant simplifier le numérateur et le dénominateur par $$n^{2}$$
$${\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{-2n^{2} -1}{n^{2} +9} ={\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{-2-\frac{1}{n^{2} } }{1+\frac{9}{n^{2} } }$$
$$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } -2-\frac{1}{n^{2}} } & {=} & {-2} \\ {\lim\limits_{n\to +\infty }1+\frac{9}{n^{2}} } & {=} & {1} \end{array}\right\}$$ $$\text{\red{par quotient :}}$$
$$\text{\purple{Finalement :}}$$

$$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } n^{2}+3n} & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{n\to +\infty }n+5} & {=} & {+\infty } \end{array}\right\}$$ on obtient une forme indéterminée $$\frac{\infty }{\infty }$$
$$\blue{\text{ On va factoriser le numérateur par le monôme de plus haut degré c'est à dire par }}$$ $$\blue{n^{2}}$$ $$\blue{\text{ et le dénominateur par le monôme de plus haut degré c'est à dire par }}$$ $$\blue{n}$$
$${\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{n^{2} +3n}{n+5} ={\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{n^{2} \left(\frac{n^{2} +3n}{n^{2} } \right)}{n\left(\frac{n+5}{n} \right)}$$
$${\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{n^{2} +3n}{n+5} ={\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{n^{2} \left(\frac{n^{2} }{n^{2} } +\frac{3n}{n^{2} } \right)}{n\left(\frac{n}{n} +\frac{5}{n} \right)}$$
$${\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{n^{2} +3n}{n+5} ={\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{n^{2} \left(1+\frac{3}{n} \right)}{n\left(1+\frac{5}{n} \right)}$$ . Nous allons maintenant simplifier le numérateur et le dénominateur par $$n$$
$${\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{n^{2} +3n}{n+5} ={\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{n\left(1+\frac{3}{n} \right)}{1+\frac{5}{n} }$$
$$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } n\left(1+\frac{3}{n}\right) } & {=} & {+\infty} \\ {\lim\limits_{n\to +\infty }1+\frac{5}{n} } & {=} & {1} \end{array}\right\}$$ $$\text{\red{par quotient :}}$$
$$\text{\purple{Finalement :}}$$

$$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } n+1} & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{n\to +\infty }n^{2}+7n-2} & {=} & {+\infty } \end{array}\right\}$$ on obtient une forme indéterminée $$\frac{\infty }{\infty }$$
$$\blue{\text{ On va factoriser le numérateur par le monôme de plus haut degré c'est à dire par }}$$ $$\blue{n}$$ $$\blue{\text{ et le dénominateur par le monôme de plus haut degré c'est à dire par }}$$ $$\blue{n^{2}}$$
$${\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{n+1}{n^{2} +7n-2} ={\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{n\left(\frac{n+1}{n} \right)}{n^{2} \left(\frac{n^{2} +7n-2}{n^{2} } \right)}$$
$${\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{n+1}{n^{2} +7n-2} ={\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{n\left(\frac{n}{n} +\frac{1}{n} \right)}{n^{2} \left(\frac{n^{2} }{n^{2} } +\frac{7n}{n^{2} } -\frac{2}{n^{2} } \right)}$$
$${\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{n+1}{n^{2} +7n-2} ={\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{n\left(1+\frac{1}{n} \right)}{n^{2} \left(1+\frac{7}{n} -\frac{2}{n^{2} } \right)}$$
$${\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{n+1}{n^{2} +7n-2} ={\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{1+\frac{1}{n} }{n\left(1+\frac{7}{n} -\frac{2}{n^{2} } \right)}$$
$$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } 1+\frac{1}{n} } & {=} & {1} \\ {\lim\limits_{n\to +\infty }n\left(1+\frac{7}{n} -\frac{2}{n^{2} } \right) } & {=} & {+\infty} \end{array}\right\}$$ $$\text{\red{par quotient :}}$$
$$\text{\purple{Finalement :}}$$