Lever une forme indéterminée à l'aide de la factorisation (quotient) - Exercice 1

20 min
40
Calculer les limites suivantes :
Question 1

lim⁡n→+∞4n−12n+3\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{4n-1}{2n+3}

Correction
lim⁡n→+∞4n−1=+∞lim⁡n→+∞2n+3=+∞}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } 4n-1} & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{n\to +\infty } 2n+3} & {=} & {+\infty } \end{array}\right\} on obtient une forme indéterminée ∞∞\frac{\infty }{\infty }
 On va factoriser le numeˊrateur par le monoˆme de plus haut degreˊ c’est aˋ dire par \blue{\text{ On va factoriser le numérateur par le monôme de plus haut degré c'est à dire par }} n\blue{n}  et le deˊnominateur par le monoˆme de plus haut degreˊ c’est aˋ dire par \blue{\text{ et le dénominateur par le monôme de plus haut degré c'est à dire par }} n\blue{n}
lim⁡n→+∞4n−12n+3=lim⁡n→+∞n(4n−1n)n(2n+3n){\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{4n-1}{2n+3} ={\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{n\left(\frac{4n-1}{n} \right)}{n\left(\frac{2n+3}{n} \right)}
lim⁡n→+∞4n−12n+3=lim⁡n→+∞n(4nn−1n)n(2nn+3n){\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{4n-1}{2n+3} ={\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{n\left(\frac{4n}{n} -\frac{1}{n} \right)}{n\left(\frac{2n}{n} +\frac{3}{n} \right)}
lim⁡n→+∞4n−12n+3=lim⁡n→+∞n(4−1n)n(2+3n){\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{4n-1}{2n+3} ={\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{n\left(4-\frac{1}{n} \right)}{n\left(2+\frac{3}{n} \right)} . Nous allons maintenant simplifier le numérateur et le dénominateur par nn
lim⁡n→+∞4n−12n+3=lim⁡n→+∞4−1n2+3n{\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{4n-1}{2n+3} ={\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{4-\frac{1}{n} }{2+\frac{3}{n} }
lim⁡n→+∞4−1n=4lim⁡n→+∞2+1n=2}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } 4-\frac{1}{n} } & {=} & {4 } \\ {\lim\limits_{n\to +\infty }2+\frac{1}{n} } & {=} & {2} \end{array}\right\} par quotient :\text{\red{par quotient :}}
lim⁡n→+∞4−1n2+3n=42{\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{4-\frac{1}{n} }{2+\frac{3}{n} }=\frac{4}{2}

Finalement :\text{\purple{Finalement :}}
lim⁡n→+∞4n−12n+3=2\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{4n-1}{2n+3} =2

Question 2

lim⁡n→+∞7n+6n2+2n\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{7n+6}{n^{2} +2n}

Correction
lim⁡n→+∞7n+6=+∞lim⁡n→+∞n2+2n=+∞}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } 7n+6} & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{n\to +\infty } n^2+2n} & {=} & {+\infty } \end{array}\right\} on obtient une forme indéterminée ∞∞\frac{\infty }{\infty }
 On va factoriser le numeˊrateur par le monoˆme de plus haut degreˊ c’est aˋ dire par \blue{\text{ On va factoriser le numérateur par le monôme de plus haut degré c'est à dire par }} n\blue{n}  et le deˊnominateur par le monoˆme de plus haut degreˊ c’est aˋ dire par \blue{\text{ et le dénominateur par le monôme de plus haut degré c'est à dire par }} n2\blue{n^2}
lim⁡n→+∞7n+6n2+2n=lim⁡n→+∞n(7n+6n)n2(n2+2nn2){\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{7n+6}{n^{2} +2n} ={\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{n\left(\frac{7n+6}{n} \right)}{n^2\left(\frac{n^2+2n}{n^2} \right)}
lim⁡n→+∞7n+6n2+2n=lim⁡n→+∞n(7nn+6n)n2(n2n2+2nn2){\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{7n+6}{n^{2} +2n} ={\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{n\left(\frac{7n}{n} +\frac{6}{n} \right)}{n^2\left(\frac{n^2}{n^2} +\frac{2n}{n^2} \right)}
lim⁡n→+∞7n+6n2+2n=lim⁡n→+∞n(7+6n)n2(1+2n){\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{7n+6}{n^{2} +2n} ={\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{n\left(7+\frac{6}{n} \right)}{n^2\left(1+\frac{2}{n} \right)} . Nous allons maintenant simplifier le numérateur et le dénominateur par nn
lim⁡n→+∞7n+6n2+2n=lim⁡n→+∞7+6nn(1+2n){\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{7n+6}{n^{2} +2n} ={\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{7+\frac{6}{n} }{n\left(1+\frac{2}{n}\right) }
lim⁡n→+∞7+6n=7lim⁡n→+∞n(1+2n)=+∞}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } 7+\frac{6}{n} } & {=} & {7 } \\ {\lim\limits_{n\to +\infty }n\left(1+\frac{2}{n}\right) } & {=} & {+\infty} \end{array}\right\} par quotient :\text{\red{par quotient :}}
lim⁡n→+∞7+6nn(1+2n)=0{\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }}\frac{7+\frac{6}{n} }{n\left(1+\frac{2}{n}\right) }=0

Finalement :\text{\purple{Finalement :}}
lim⁡n→+∞7n+6n2+2n=0\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{7n+6}{n^2+2n} =0
Si on rencontre une forme Nombre∞\frac{Nombre}{\infty } alors la limite sera égale à zéro.
Question 3

lim⁡n→+∞2n2−n+1n+2\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{2n^{2}-n+1}{n+2}

Correction
lim⁡n→+∞2n2−n+1=+∞lim⁡n→+∞n+2=+∞}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } 2n^{2}-n+1} & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{n\to +\infty } n+2} & {=} & {+\infty } \end{array}\right\} on obtient une forme indéterminée ∞∞\frac{\infty }{\infty }
 On va factoriser le numeˊrateur par le monoˆme de plus haut degreˊ c’est aˋ dire par \blue{\text{ On va factoriser le numérateur par le monôme de plus haut degré c'est à dire par }} n2\blue{n^2}  et le deˊnominateur par le monoˆme de plus haut degreˊ c’est aˋ dire par \blue{\text{ et le dénominateur par le monôme de plus haut degré c'est à dire par }} n\blue{n}
lim⁡n→+∞2n2−n+1n+2=lim⁡n→+∞n2(2n2−n+1n2)n(n+2n){\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{2n^{2}-n+1}{n+2} ={\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{n^2\left(\frac{2n^2-n+1}{n^2} \right)}{n\left(\frac{n+2}{n} \right)}
lim⁡n→+∞2n2−n+1n+2=lim⁡n→+∞n2(2n2n2−nn2+1n2)n(nn+2n){\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{2n^{2}-n+1}{n+2} ={\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{n^2\left(\frac{2n^2}{n^2} -\frac{n}{n^2}+\frac{1}{n^2} \right)}{n\left(\frac{n}{n} +\frac{2}{n} \right)}
lim⁡n→+∞2n2−n+1n+2=lim⁡n→+∞n2(2−1n+1n2)n(1+2n){\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{2n^{2}-n+1}{n+2} ={\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{n^2\left(2-\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2} \right)}{n\left(1+\frac{2}{n} \right)} . Nous allons maintenant simplifier le numérateur et le dénominateur par nn
lim⁡n→+∞2n2−n+1n+2=lim⁡n→+∞n(2−1n+1n2)1+2n{\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{2n^{2}-n+1}{n+2} ={\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{n\left(2-\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}\right) }{1+\frac{2}{n} }
lim⁡n→+∞n(2−1n+1n2)=+∞lim⁡n→+∞1+2n=1}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } n\left(2-\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}\right) } & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{n\to +\infty }1+\frac{2}{n} } & {=} & {1} \end{array}\right\} par quotient :\text{\red{par quotient :}}
lim⁡n→+∞n(2−1n+1n2)1+2n=+∞{\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }}\frac{n\left(2-\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}\right) }{1+\frac{2}{n} }=+\infty

Finalement :\text{\purple{Finalement :}}
lim⁡n→+∞2n2−n+1n+2=+∞\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{2n^{2}-n+1}{n+2} =+\infty
Question 4

lim⁡n→+∞n2+3n2+n+1\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{n^{2}+3}{n^{2}+n+1}

Correction
lim⁡n→+∞n2+3=+∞lim⁡n→+∞n2+n+1=+∞}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } n^{2}+3} & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{n\to +\infty } n^{2} +n+1} & {=} & {+\infty } \end{array}\right\} on obtient une forme indéterminée ∞∞\frac{\infty }{\infty }
 On va factoriser le numeˊrateur par le monoˆme de plus haut degreˊ c’est aˋ dire par \blue{\text{ On va factoriser le numérateur par le monôme de plus haut degré c'est à dire par }} n2\blue{n^2}  et le deˊnominateur par le monoˆme de plus haut degreˊ c’est aˋ dire par \blue{\text{ et le dénominateur par le monôme de plus haut degré c'est à dire par }} n2\blue{n^2}
lim⁡n→+∞n2+3n2+n+1=lim⁡n→+∞n2(n2+3n2)n2(n2+n+1n2){\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{n^{2}+3}{n^{2}+n+1} ={\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{n^2\left(\frac{n^2+3}{n^2} \right)}{n^2\left(\frac{n^2+n+1}{n^2} \right)}
lim⁡n→+∞n2+3n2+n+1=lim⁡n→+∞n2(n2n2+3n2)n2(n2n2+nn2+1n2){\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{n^{2}+3}{n^{2}+n+1} ={\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{n^2\left(\frac{n^2}{n^2} +\frac{3}{n^2} \right)}{n^2\left(\frac{n^2}{n^2} +\frac{n}{n^2}+\frac{1}{n^2} \right)}
lim⁡n→+∞n2+3n2+n+1=lim⁡n→+∞n2(1+3n2)n2(1+1n+1n2){\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{n^{2}+3}{n^{2}+n+1} ={\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{n^2\left(1+\frac{3}{n^2} \right)}{n^2\left(1+\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2} \right)} . Nous allons maintenant simplifier le numérateur et le dénominateur par n2n^{2}
lim⁡n→+∞n2+3n2+n+1=lim⁡n→+∞1+3n21+1n+1n2{\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{n^{2}+3}{n^{2}+n+1} ={\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{1+\frac{3}{n^2} }{1+\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2} }
lim⁡n→+∞1+3n2=1lim⁡n→+∞1+1n+1n2=1}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } 1+\frac{3}{n^2} } & {=} & {1} \\ {\lim\limits_{n\to +\infty }1+\frac{1}{n} +\frac{1}{n^2}} & {=} & {1} \end{array}\right\} par quotient :\text{\red{par quotient :}}
lim⁡n→+∞1+3n21+1n+1n2=1{\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{1+\frac{3}{n^2} }{1+\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2} }=1

Finalement :\text{\purple{Finalement :}}
lim⁡n→+∞n2+3n2+n+1=1\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{n^{2}+3}{n^{2}+n+1} =1

Question 5

lim⁡n→+∞3n3+5nn4+2n3+1\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{3n^{3}+5n}{n^{4}+2n^{3}+1}

Correction
lim⁡n→+∞3n3+5n=+∞lim⁡n→+∞n4+2n3+1=+∞}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } 3n^{3}+5n} & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{n\to +\infty } n^{4}+2n^{3}+1} & {=} & {+\infty } \end{array}\right\} on obtient une forme indéterminée ∞∞\frac{\infty }{\infty }
 On va factoriser le numeˊrateur par le monoˆme de plus haut degreˊ c’est aˋ dire par \blue{\text{ On va factoriser le numérateur par le monôme de plus haut degré c'est à dire par }} n3\blue{n^3}  et le deˊnominateur par le monoˆme de plus haut degreˊ c’est aˋ dire par \blue{\text{ et le dénominateur par le monôme de plus haut degré c'est à dire par }} n4\blue{n^4}
lim⁡n→+∞3n3+5nn4+2n3+1=lim⁡n→+∞n3(3n3+5nn3)n4(n4+2n3+1n4){\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{3n^{3}+5n}{n^{4}+2n^{3}+1} ={\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{n^3\left(\frac{3n^3+5n}{n^3} \right)}{n^4\left(\frac{n^4+2n^3+1}{n^4} \right)}
lim⁡n→+∞3n3+5nn4+2n3+1=lim⁡n→+∞n3(3n3n3+5nn3)n4(n4n4+2n3n4+1n4){\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{3n^{3}+5n}{n^{4}+2n^{3}+1} ={\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{n^3\left(\frac{3n^3}{n^3} +\frac{5n}{n^3} \right)}{n^4\left(\frac{n^4}{n^4} +\frac{2n^3}{n^4}+\frac{1}{n^4} \right)}
lim⁡n→+∞3n3+5nn4+2n3+1=lim⁡n→+∞n3(3+5n2)n4(1+2n+1n4){\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{3n^{3}+5n}{n^{4}+2n^{3}+1} ={\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{n^3\left(3+\frac{5}{n^2} \right)}{n^4\left(1+\frac{2}{n}+\frac{1}{n^4} \right)} . Nous allons maintenant simplifier le numérateur et le dénominateur par n3n^{3}
lim⁡n→+∞3n3+5nn4+2n3+1=lim⁡n→+∞3+5n2n(1+2n+1n4){\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{3n^{3}+5n}{n^{4}+2n^{3}+1} ={\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{3+\frac{5}{n^2} }{n\left(1+\frac{2}{n}+\frac{1}{n^4} \right)}
lim⁡n→+∞3+5n2=3lim⁡n→+∞n(1+1n+1n2)=+∞}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } 3+\frac{5}{n^2} } & {=} & {3} \\ {\lim\limits_{n\to +\infty }n\left(1+\frac{1}{n} +\frac{1}{n^2}\right)} & {=} & {+\infty} \end{array}\right\} par quotient :\text{\red{par quotient :}}
lim⁡n→+∞3+5n2n(1+2n+1n4)=0{\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{3+\frac{5}{n^2} }{n\left(1+\frac{2}{n}+\frac{1}{n^4}\right) }=0

Finalement :\text{\purple{Finalement :}}
lim⁡n→+∞3n3+5nn4+2n3+1=0\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{3n^{3}+5n}{n^{4}+2n^{3}+1} =0
Si on rencontre une forme Nombre∞\frac{Nombre}{\infty } alors la limite sera égale à zéro.

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