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Suites et limites

Lever une forme indéterminée à l'aide de la factorisation - Exercice 1

20 min
35
Question 1
Calculer les limites suivantes :

lim⁡n→+∞3n2−5n+3\lim\limits_{n\to +\infty } 3n^{2} -5n+3

Correction
lim⁡n→+∞3n2=+∞lim⁡n→+∞−5n+3=−∞}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } 3n^{2} } & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{n\to +\infty } -5n+3} & {=} & {-\infty } \end{array}\right\} nous rencontrons une forme indéterminée de la forme +∞−∞+\infty -\infty
Pour lever cette indeˊtermination, nous allons factoriser par le monoˆme de plus haut degreˊ.\blue{\text{Pour lever cette indétermination, nous allons factoriser par le monôme de plus haut degré.}} Ici, en l’occurrence par\blue{\text{Ici, en l'occurrence par}} n2\blue{n^{2} }.
lim⁡n→+∞3n2−5n+3=lim⁡n→+∞n2(3n2−5n+3n2){\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} 3n^{2} -5n+3={\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} n^{2} \left(\frac{3n^{2} -5n+3}{n^{2} } \right)
lim⁡n→+∞3n2−5n+3=lim⁡n→+∞n2(3n2n2−5nn2+3n2){\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} 3n^{2} -5n+3={\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} n^{2} \left(\frac{3n^{2} }{n^{2} } -\frac{5n}{n^{2} } +\frac{3}{n^{2} } \right)
lim⁡n→+∞3n2−5n+3=lim⁡n→+∞n2(3−5n+3n2){\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} 3n^{2} -5n+3={\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} n^{2} \left(3-\frac{5}{n} +\frac{3}{n^{2} } \right)
lim⁡n→+∞n2=+∞lim⁡n→+∞3−5n+3n2=3}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } n^{2} } & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{n\to +\infty } 3-\frac{5}{n} +\frac{3}{n^{2} } } & {=} & {3} \end{array}\right\} par produit\text{\red{par produit}}
lim⁡n→+∞n2(3−5n+3n2)=+∞{\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} n^{2} \left(3-\frac{5}{n} +\frac{3}{n^{2} } \right)=+\infty

Finalement :\text{\purple{Finalement :}} lim⁡n→+∞3n2−5n+3=+∞\lim\limits_{n\to +\infty } 3n^{2} -5n+3=+\infty
Si on rencontre une forme Nombre∞\frac{Nombre}{\infty } alors la limite sera égale à zéro.
Question 2

lim⁡n→+∞−2n2+5n+3\lim\limits_{n\to +\infty } -2n^{2} +5n+3

Correction
lim⁡n→+∞−2n2=−∞lim⁡n→+∞5n+3=+∞}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } -2n^{2} } & {=} & {-\infty } \\ {\lim\limits_{n\to +\infty } 5n+3} & {=} & {+\infty } \end{array}\right\} nous rencontrons une forme indéterminée de la forme −∞+∞-\infty +\infty
Pour lever cette indeˊtermination, nous allons factoriser par le monoˆme de plus haut degreˊ.\blue{\text{Pour lever cette indétermination, nous allons factoriser par le monôme de plus haut degré.}} Ici, en l’occurrence par\blue{\text{Ici, en l'occurrence par}} n2\blue{n^{2} }.
lim⁡n→+∞−2n2+5n+3=lim⁡n→+∞n2(−2n2+5n+3n2){\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} -2n^{2} +5n+3={\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} n^{2} \left(\frac{-2n^{2} +5n+3}{n^{2} } \right)
lim⁡n→+∞−2n2+5n+3=lim⁡n→+∞n2(−2n2n2+5nn2+3n2){\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} -2n^{2} +5n+3={\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} n^{2} \left(\frac{-2n^{2} }{n^{2} } +\frac{5n}{n^{2} } +\frac{3}{n^{2} } \right)
lim⁡n→+∞−2n2+5n+3=lim⁡n→+∞n2(−2+5n+3n2){\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} -2n^{2} +5n+3={\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} n^{2} \left(-2+\frac{5}{n} +\frac{3}{n^{2} } \right)
lim⁡n→+∞n2=+∞lim⁡n→+∞−2+5n+3n2=−2}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } n^{2} } & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{n\to +\infty } -2+\frac{5}{n} +\frac{3}{n^{2} } } & {=} & {-2} \end{array}\right\} par produit\text{\red{par produit}}
lim⁡n→+∞n2(−2+5n+3n2)=−∞{\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} n^{2} \left(-2+\frac{5}{n} +\frac{3}{n^{2} } \right)=-\infty

Finalement :\text{\purple{Finalement :}} lim⁡n→+∞−2n2+5n+3=−∞\lim\limits_{n\to +\infty } -2n^{2} +5n+3=-\infty
Si on rencontre une forme Nombre∞\frac{Nombre}{\infty } alors la limite sera égale à zéro.
Question 3

lim⁡n→+∞4n3−5n+1\lim\limits_{n\to +\infty } 4n^{3} -5n+1

Correction
lim⁡n→+∞4n3=+∞lim⁡n→+∞−5n+1=−∞}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } 4n^{3} } & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{n\to +\infty } -5n+1} & {=} & {-\infty } \end{array}\right\} nous rencontrons une forme indéterminée de la forme +∞−∞+\infty -\infty
Pour lever cette indeˊtermination, nous allons factoriser par le monoˆme de plus haut degreˊ.\blue{\text{Pour lever cette indétermination, nous allons factoriser par le monôme de plus haut degré.}} Ici, en l’occurrence par\blue{\text{Ici, en l'occurrence par}} n3\blue{n^{3} }.
lim⁡n→+∞4n3−5n+1=lim⁡n→+∞n3(4n3−5n+1n3){\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} 4n^{3} -5n+1={\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} n^{3} \left(\frac{4n^{3} -5n+1}{n^{3} } \right)
lim⁡n→+∞4n3−5n+1=lim⁡n→+∞n3(4n3n3−5nn3+1n3){\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} 4n^{3} -5n+1={\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} n^{3} \left(\frac{4n^{3} }{n^{3} } -\frac{5n}{n^{3} } +\frac{1}{n^{3} } \right)
lim⁡n→+∞4n3−5n+1=lim⁡n→+∞n3(4−5n2+1n3){\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} 4n^{3} -5n+1={\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} n^{3} \left(4-\frac{5}{n^2} +\frac{1}{n^{3} } \right)
lim⁡n→+∞n3=+∞lim⁡n→+∞4−5n2+1n3=4}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } n^{3} } & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{n\to +\infty } 4-\frac{5}{n^2} +\frac{1}{n^{3} } } & {=} & {4} \end{array}\right\} par produit\text{\red{par produit}}
lim⁡n→+∞n3(4−5n2+1n3)=+∞{\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} n^{3} \left(4-\frac{5}{n^2} +\frac{1}{n^{3} } \right)=+\infty

Finalement :\text{\purple{Finalement :}} lim⁡n→+∞4n3−5n+1=+∞\lim\limits_{n\to +\infty } 4n^{3} -5n+1=+\infty
Si on rencontre une forme Nombre∞\frac{Nombre}{\infty } alors la limite sera égale à zéro.
Question 4

lim⁡n→+∞−2n3−3n2+4n+3\lim\limits_{n\to +\infty } -2n^{3} -3n^{2}+4n+3

Correction
lim⁡n→+∞−2n3=−∞lim⁡n→+∞−3n2=−∞lim⁡n→+∞4n+3=+∞}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } -2n^{3} } & {=} & {-\infty } \\ {\lim\limits_{n\to +\infty } -3n^2} & {=} & {-\infty }\\ {\lim\limits_{n\to +\infty } 4n+3 }& {=} &{ +\infty } \end{array}\right\} nous rencontrons une forme indéterminée de la forme −∞−∞+∞-\infty -\infty +\infty
Pour lever cette indeˊtermination, nous allons factoriser par le monoˆme de plus haut degreˊ.\blue{\text{Pour lever cette indétermination, nous allons factoriser par le monôme de plus haut degré.}} Ici, en l’occurrence par\blue{\text{Ici, en l'occurrence par}} n3\blue{n^{3} }.
lim⁡n→+∞−2n3−3n2+4n+3=lim⁡n→+∞n3(−2n3−3n2+4n+3n3){\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} -2n^{3} -3n^2+4n+3={\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} n^{3} \left(\frac{-2n^{3} -3n^2+4n+3}{n^{3} } \right)
lim⁡n→+∞−2n3−3n2+4n+3=lim⁡n→+∞n3(−2n3n3−3n2n3+4nn3+3n3){\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} -2n^{3} -3n^2+4n+3={\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} n^{3} \left(\frac{-2n^{3} }{n^{3} } -\frac{3n^2}{n^{3} } +\frac{4n}{n^{3} }+\frac{3}{n^3} \right)
lim⁡n→+∞−2n3−3n2+4n+3=lim⁡n→+∞n3(−2−3n+4n2+3n3){\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }}-2n^{3} -3n^2+4n+3={\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} n^{3} \left(-2-\frac{3}{n} +\frac{4}{n^{2} }+\frac{3}{n^3} \right)
lim⁡n→+∞n3=+∞lim⁡n→+∞−2−3n+4n2+3n3=−2}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } n^{3} } & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{n\to +\infty } -2-\frac{3}{n} +\frac{4}{n^{2} }+\frac{3}{n^3} } & {=} & {-2} \end{array}\right\} par produit\text{\red{par produit}}
lim⁡n→+∞n3(−2−3n+4n2+3n3)=−∞{\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} n^{3} \left(-2-\frac{3}{n} +\frac{4}{n^{2} }+\frac{3}{n^3 } \right)=-\infty

Finalement :\text{\purple{Finalement :}} lim⁡n→+∞−2n3−3n2+4n+3=−∞\lim\limits_{n\to +\infty } -2n^{3} -3n^2+4n+3=-\infty
Si on rencontre une forme Nombre∞\frac{Nombre}{\infty } alors la limite sera égale à zéro.
Question 5

lim⁡n→+∞6n4−3n2+7\lim\limits_{n\to +\infty } 6n^{4} -3n^{2}+7

Correction
lim⁡n→+∞6n4=+∞lim⁡n→+∞−3n2+7=−∞}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } 6n^{4} } & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{n\to +\infty } -3n^2+7} & {=} & {-\infty } \end{array}\right\} nous rencontrons une forme indéterminée de la forme +∞−∞+\infty -\infty
Pour lever cette indeˊtermination, nous allons factoriser par le monoˆme de plus haut degreˊ.\blue{\text{Pour lever cette indétermination, nous allons factoriser par le monôme de plus haut degré.}} Ici, en l’occurrence par\blue{\text{Ici, en l'occurrence par}} n4\blue{n^{4} }.
lim⁡n→+∞6n4−3n2+7=lim⁡n→+∞n4(6n4−3n2+7n4){\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} 6n^{4} -3n^{2}+7={\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} n^{4} \left(\frac{6n^{4} -3n^{2}+7}{n^{4} } \right)
lim⁡n→+∞6n4−3n2+7=lim⁡n→+∞n4(6n4n4−3n2n4+7n4){\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} 6n^{4} -3n^{2}+7={\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} n^{4} \left(\frac{6n^{4} }{n^{4} } -\frac{3n^2}{n^{4} } +\frac{7}{n^{4} } \right)
lim⁡n→+∞6n4−3n2+7=lim⁡n→+∞n4(6−3n2+7n4){\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} 6n^{4} -3n^{2}+7={\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} n^{4} \left(6-\frac{3}{n^2} +\frac{7}{n^{4} } \right)
lim⁡n→+∞n4=+∞lim⁡n→+∞6−3n2+7n4=6}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } n^{4} } & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{n\to +\infty }6-\frac{3}{n^2} +\frac{7}{n^{4}} } & {=} & {6} \end{array}\right\} par produit\text{\red{par produit}}
lim⁡n→+∞n4(6−3n2+7n4)=+∞{\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} n^{4} \left(6-\frac{3}{n^2} +\frac{7}{n^{4} } \right)=+\infty

Finalement :\text{\purple{Finalement :}} lim⁡n→+∞6n4−3n2+7=+∞\lim\limits_{n\to +\infty } 6n^{4} -3n^{2}+7=+\infty
Si on rencontre une forme Nombre∞\frac{Nombre}{\infty } alors la limite sera égale à zéro.