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Suites et limites

Déterminer la limite de la somme des termes d'une suite géométrique - Exercice 5

7 min
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Question 1

Déterminer la limite de la somme SS des n+1n+1 termes de la suite géométrique dont le premier terme est u0=4u_{0} =4 et de raison q=65q=\frac{6}{5} .

Correction
La somme des termes d'une suite géométrique est donnée par la formule suivante :
u0+u1++un=(premier terme)×(1qnombres de termes1q)u_{0} +u_{1} +\ldots +u_{n}=\left(\text{premier terme}\right)\times \left(\frac{1-q^{\text{nombres de termes}}}{1-q}\right)
La somme SS des n+1n+1 termes de la suite géométrique dont le premier terme est u0=4u_{0} =4 et de raison q=65q=\frac{6}{5} s'écrit sous la forme :
S=u0+u1++unS=u_{0} +u_{1} +\ldots +u_{n} équivaut successivement à :
S=(premier terme)×(1qnombres de termes1q)S=\left(\text{premier terme}\right)\times \left(\frac{1-q^{\text{nombres de termes}}}{1-q}\right)
S=u0×(1qn+11q)S=u_{0} \times \left(\frac{1-q^{n+1} }{1-q} \right)
S=4×(1(65)n+1165)S=4\times \left(\frac{1-\left(\frac{6}{5} \right)^{n+1} }{1-\frac{6}{5} } \right)
S=4×(1(65)n+115)S=4\times \left(\frac{1-\left(\frac{6}{5} \right)^{n+1} }{-\frac{1}{5} } \right)
S=4×(51)(1(65)n+1)S=4\times \left(-\frac{5}{1} \right)\left(1-\left(\frac{6}{5} \right)^{n+1} \right)
Ainsi :
S=20(1(65)n+1)S=-20\left(1-\left(\frac{6}{5} \right)^{n+1} \right)
Pour savoir le nombre de termes présents dans une somme, faites le calcul suivant : grand indicepetit indice+1\text{grand indice} - \text{petit indice} +1
  • La somme S=u0+u1+u2++unS=u_{0} +u_{1} +u_{2} +\ldots +u_{n} comprend n+1n+1 termes. Ici le plus grand indice est nn , le plus petit indice est 00. Ainsi le nombre de termes est égale à : n0+1=n+1n-0+1=n+1. Nous avons donc n+1n+1 termes.
  • La somme S=u1+u2++unS=u_{1} +u_{2} +\ldots +u_{n} comprend nn termes. Ici le plus grand indice est nn , le plus petit indice est 11. Ainsi le nombre de termes est égale à : n1+1=nn-1+1=n. Nous avons donc nn termes.
  • La somme S=up+up+1++unS=u_{p} +u_{p+1} +\ldots +u_{n} comprend np+1n-p+1 termes. Ici le plus grand indice est nn , le plus petit indice est pp. Ainsi le nombre de termes est égale à : np+1=nn-p+1=n. Nous avons donc np+1n-p+1 termes.
  • La somme S=u5+u6++u22S=u_{5} +u_{6} +\ldots +u_{22} comprend 1818 termes. Ici le plus grand indice est 2222 , le plus petit indice est 55. Ainsi le nombre de termes est égale à : 225+1=1822-5+1=18. Nous avons donc 1818 termes.
  • Nous allons maintenant deˊterminer la limite de\red{\text{Nous allons maintenant déterminer la limite de}} S\red{S}.
    limn+S=limn+20(1(65)n+1){\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} S={\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} -20\left(1-\left(\frac{6}{5} \right)^{n+1} \right)
    • Si 0<q<10<q<1 alors limn+qn=0\lim\limits_{n\to +\infty } q^{n} =0.
    • Si q>1 q >1 alors limn+qn=+\lim\limits_{n\to +\infty } q^{n} =+\infty.
    Comme 3>13>1 alors :
    limn+(65)n+1=+{\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \left(\frac{6}{5} \right)^{n+1} =+\infty
    limn+(65)n+1={\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} -\left(\frac{6}{5} \right)^{n+1} =-\infty
    limn+1(65)n+1={\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} 1-\left(\frac{6}{5} \right)^{n+1} =-\infty

    Il vient alors que :
    limn+20=20limn+1(65)n+1=}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } -20} & {=} & {-20} \\ {\lim\limits_{n\to +\infty }1-\left(\frac{6}{5} \right)^{n+1}} & {=} & {-\infty } \end{array}\right\} par produit\text{\red{par produit}}
    limn+20(1(65)n+1)=+{\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} -20\left(1-\left(\frac{6}{5} \right)^{n+1} \right)=+\infty

    Ainsi :
    limn+S=+\lim\limits_{n\to +\infty } S =+\infty