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Déterminer la limite de la somme des termes d'une suite géométrique - Exercice 2

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Question 1

Soit nn un entier naturel. La limite de la suite S=6+6×17+6×(17)2+6×(17)3+…+6×(17)nS=6+6\times \frac{1}{7} +6\times \left(\frac{1}{7} \right)^{2} +6\times \left(\frac{1}{7} \right)^{3} +\ldots +6\times \left(\frac{1}{7} \right)^{n} est égale à :

Correction
La limite de la somme des termes d'une suite géométrique de premier terme u0u_{0} et de raison qq, avec 0<q<10<q<1, est égale à u01−q\frac{u_{0}}{1-q}.
Autrement dit : u0+u1+…+un=u01−qu_{0} +u_{1} +\ldots +u_{n} =\frac{u_{0} }{1-q}
S=6+6×17+6×(17)2+6×(17)3+…+6×(17)nS=6+6\times \frac{1}{7} +6\times \left(\frac{1}{7} \right)^{2} +6\times \left(\frac{1}{7} \right)^{3} +\ldots +6\times \left(\frac{1}{7} \right)^{n}
S=6×(17)0+6×(17)1+6×(17)2+6×(17)3+…+6×(17)nS=6\times \left(\frac{1}{7} \right)^{0} +6\times \left(\frac{1}{7} \right)^{1} +6\times \left(\frac{1}{7} \right)^{2} +6\times \left(\frac{1}{7} \right)^{3} +\ldots +6\times \left(\frac{1}{7} \right)^{n}
SS est la somme des n+1n+1 termes d'une suite géométrique de raison q=17q=\frac{1}{7} et de premier terme u0=6u_{0}=6
Il en résulte donc que :
u0+u1+…+un=61−17u_{0} +u_{1} +\ldots +u_{n} =\frac{6 }{1-\frac{1}{7}}
u0+u1+…+un=677−17u_{0} +u_{1} +\ldots +u_{n} =\frac{6 }{\frac{7}{7}-\frac{1}{7}}
u0+u1+…+un=667u_{0} +u_{1} +\ldots +u_{n} =\frac{6 }{\frac{6}{7}}
  • A(BC)=A×CB\frac{A}{\left(\frac{B}{C} \right)} =A\times \frac{C}{B}
    • u0+u1+…+un=6×76u_{0} +u_{1} +\ldots +u_{n} =6\times \frac{7}{6}
    Ainsi :
    u0+u1+…+un=7u_{0} +u_{1} +\ldots +u_{n} =7

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