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Effectuer un ajustement par changement de variable - Exercice 1

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Un entreprise comptait en 20142014 soixante-six employés. Le tableau ci-dessous donne l'évolution du nombre d'employés en fonction du rang de l’année.
Question 1
On cherche à étudier l’évolution du nombre yy d’employés en fonction du rang xx de l’année. Une étude graphique montre qu’un ajustement affine ne convient pas.
On pose alors z=y−3{\color{blue}{z=\sqrt{y}-3}}

Recopier et compléter le tableau suivant (on donnera les résultats sous forme décimale, arrondis au centième)

Correction
Nous allons détailler un exemple.
  • Lorsque y=104y=104 alors z=104−3z=\sqrt{104}-3 ce qui nous donne z≈7,20z\approx 7,20 arrondi à 10−210^{-2} près.
    • Question 2

    Représenter le nuage de points Mi(xi;zi)M_{i}\left(x_i; z_i\right) associé à cette série statistique, dans le plan munid’un repère orthonormal d’unité graphique 11 cm.
    Un ajustement affine vous paraît-il approprié ? Justifier la réponse.

    Correction
    Un ajustement affine paraıˆt approprieˊ car les points sont pratiquement aligneˊs.\red{\text{Un ajustement affine paraît approprié car les points sont pratiquement alignés.}}
    Nous allons confirmer cela avec le calcul du coefficient de corrélation à l'aide de la calculatrice.
      Coefficient de correˊlation \red{\text{Coefficient de corrélation }}
  • Soit rr le coefficient de correˊlation \red{\text{coefficient de corrélation }} linéaire d'une série statistique à deux variables xx et yy défini par : r=cov(x,y)σxσyr=\frac{\text{cov}\left(x,y\right)}{\sigma _{x} \sigma _{y} } où σx\sigma _{x} est l'écart type de la série xx et σy\sigma _{y} est l'écart type de la série yy.
  • Nous allons souvent déterminer rr à l'aide de la calculatrice. rr est un réel appartenant à l'intervalle [−1;1]\left[-1;1\right]
  • Lorsque rr est très proche de 11 ou de −1-1, cela signifie que les points sont presque tous alignés et que l'ajustement affine de cette série statistique est envisageable. On parle de corrélation linéaire entre les variables xx et yy .
    • A l'aide de la calculatrice, le coefficient de corrélation vaut r≈0,996r\approx 0,996 à 0,0010,001 près.
    Le coefficient de corrélation est très proche de 11 . Cela signifie que les points sont presque tous alignés et que l'ajustement affine de cette série statistique est envisageable.
    Question 3

    Déterminer, à l’aide de la calculatrice, une équation de la droite d’ajustement affine de zz en xx par la méthode des moindres carrés (on donnera les coefficients sous forme décimale, arrondis
    au centième). Tracer cette droite sur le graphique précédent.

    Correction
    Une équation de la droite (d)\left(d\right) d'ajustement de yy en xx par la méthode des moindres carrés obtenue à l'aide de la calculatrice, est
    y=2,15x+2,76y=2,15x+2,76
    (coefficients arrondis au centième)
    Question 4

    En utilisant cet ajustement, à partir de quelle année peut-on prévoir que l’effectif de ce centre d’appel dépassera 900900 employés ?

    Correction
    Le nombre d'employés dépassera 900900 cela signifie que y≥900y\ge 900
    Cela correspond donc à z≥900−3z\ge\sqrt{900}-3 soit z≥27z\ge27
    Il nous faut donc résoudre l'inéquation z≥27z\ge 27
    Il vient alors que :
    2,15x+2,76≥272,15x+2,76\ge 27
    2,15x≥27−2,762,15x\ge 27-2,76
    2,15x≥24,242,15x\ge 24,24
    x≥24,242,15x\ge \frac{24,24}{2,15}
    Or : 24,242,15≈11,3\frac{24,24}{2,15} \approx 11,3
    Il faut donc attendre 2014+12=20262014+12=2026 qui correspond à x=12x = 12 selon cet ajustement pour que l’effectif de ce centre d’appel dépasse 900900 employés.