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Statistiques à deux variables
Effectuer un ajustement exponentiel - Exercice 3
1 min
0
Le tableau ci-dessous présente l’évolution de l’indice des dépenses mensuels d'un étudiant dans notre chère capitale Parisienne entre
2015
2015
2015
et
2020
2020
2020
(base
100
100
100
en
2015
2015
2015
).
Question 1
Dans le plan muni d’un repère orthogonal d’unités graphiques :
2
2
2
cm pour une année sur l’axe des abscisses et
1
1
1
cm pour
10
10
10
adhérents sur l’axe des ordonnées (en plaçant
100
100
100
à l’origine), représenter le nuage de
points associé à la série
(
x
i
;
y
i
)
\left(x_i;y_i\right)
(
x
i
;
y
i
)
Correction
Question 2
Peut-on effectuer un ajustement affine ? A VOIR SI JE GARDE CETTE QUESTION
Correction
Coefficient de corr
e
ˊ
lation
\red{\text{Coefficient de corrélation }}
Coefficient de corr
e
ˊ
lation
Soit
r
r
r
le
coefficient de corr
e
ˊ
lation
\red{\text{coefficient de corrélation }}
coefficient de corr
e
ˊ
lation
linéaire d'une série statistique à deux variables
x
x
x
et
y
y
y
défini par :
r
=
cov
(
x
,
y
)
σ
x
σ
y
r=\frac{\text{cov}\left(x,y\right)}{\sigma _{x} \sigma _{y} }
r
=
σ
x
σ
y
cov
(
x
,
y
)
où
σ
x
\sigma _{x}
σ
x
est l'écart type de la série
x
x
x
et
σ
y
\sigma _{y}
σ
y
est l'écart type de la série
y
y
y
.
Nous allons souvent déterminer
r
r
r
à l'aide de la calculatrice.
r
r
r
est un réel appartenant à l'intervalle
[
−
1
;
1
]
\left[-1;1\right]
[
−
1
;
1
]
Lorsque
r
r
r
est très proche de
1
1
1
ou de
−
1
-1
−
1
, cela signifie que les points sont presque tous alignés et que l'ajustement affine de cette série statistique est envisageable. On parle de corrélation linéaire entre les variables
x
x
x
et
y
y
y
.
A l'aide de la calculatrice, le coefficient de corrélation vaut
r
≈
0
,
971
r\approx 0,971
r
≈
0
,
971
à
0
,
01
0,01
0
,
01
près.
Le coefficient de corrélation
n’est pas tr
e
ˋ
s proche de 1
\blue{\text{n'est pas très proche de 1 }}
n’est pas tr
e
ˋ
s proche de 1
.
Cela signifie que les points ne sont pas tous alignés et que
l’ajustement affine de cette s
e
ˊ
rie statistique n’est pas envisageable.
\red{\text{l'ajustement affine de cette série statistique n'est pas envisageable.}}
l’ajustement affine de cette s
e
ˊ
rie statistique n’est pas envisageable.
Question 3
On pose
z
=
ln
(
y
)
{\color{blue}{z=\ln\left(y\right)}}
z
=
l
n
(
y
)
Recopier et compléter le tableau suivant en arrondissant les valeurs de
z
i
z_{i}
z
i
au millième .
Correction
Nous allons détailler un exemple.
Lorsque
y
=
106
,
3
y=106,3
y
=
106
,
3
alors
z
=
ln
(
106
,
3
)
z=\ln\left(106,3\right)
z
=
ln
(
106
,
3
)
ce qui nous donne
z
≈
4
,
5
z\approx 4,5
z
≈
4
,
5
arrondi à
1
0
−
3
10^{-3}
1
0
−
3
près.
Question 4
Déterminer une équation de la droite d’ajustement de
z
z
z
en
x
x
x
obtenue par la méthode des moindres carrés et la tracer sur le graphique précédent. (Les coefficients seront arrondis au millième).
Correction
Une équation de la droite
(
d
)
\left(d\right)
(
d
)
d'ajustement de
z
z
z
en
x
x
x
par la méthode des moindres carrés obtenue à l'aide de la calculatrice, est
z
=
0
,
106
x
+
4
,
44
z=0,106x+4,44
z
=
0
,
106
x
+
4
,
44
(coefficients arrondis au centième)
Question 5
En déduire une approximation du nombre d’adhérents
y
y
y
en fonction du rang
x
x
x
de l’année. On vérifiera que
y
=
A
e
B
x
y=Ae^{Bx}
y
=
A
e
B
x
où
A
A
A
et
B
B
B
sont deux réels à déterminer.
Correction
Nous savons que
z
=
ln
(
y
)
z=\ln\left(y\right)
z
=
ln
(
y
)
et que
z
=
0
,
106
x
+
4
,
439
z=0,106x+4,439
z
=
0
,
106
x
+
4
,
439
. Il en résulte donc que :
ln
(
y
)
=
0
,
106
x
+
4
,
439
\ln \left(y\right)=0,106x+4,439
ln
(
y
)
=
0
,
106
x
+
4
,
439
e
ln
(
y
)
=
e
0
,
106
x
+
4
,
439
e^{\ln \left(y\right)} =e^{0,106x+4,439}
e
l
n
(
y
)
=
e
0
,
106
x
+
4
,
439
y
=
e
0
,
106
x
+
4
,
439
y=e^{0,106x+4,439}
y
=
e
0
,
106
x
+
4
,
439
y
=
e
0
,
106
x
×
e
4
,
439
y=e^{0,106x} \times e^{4,439}
y
=
e
0
,
106
x
×
e
4
,
439
. Or :
e
4
,
439
≈
84
,
69
e^{4,439} \approx 84,69
e
4
,
439
≈
84
,
69
Ainsi :
y
=
84
,
69
e
0
,
106
x
y=84,69e^{0,106x}
y
=
84
,
69
e
0
,
106
x
Par identification, on a alors :
A
=
84
,
69
A=84,69
A
=
84
,
69
et
B
=
0
,
106
B=0,106
B
=
0
,
106
Question 6
En supposant que notre ajustement exponentiel précédent reste valable pour les années suivantes, donner une estimation de l'indice (arrondi à l'unité) de la dépense de l'étudiant en
2022
2022
2022
.
Correction
Nous avons obtenu l'ajustement exponentiel
y
=
84
,
69
e
0
,
106
x
y=84,69e^{0,106x}
y
=
84
,
69
e
0
,
106
x
L'année
2022
2022
2022
correspond au rang
x
=
8
x=8
x
=
8
Il vient alors que :
y
=
84
,
69
e
0
,
106
×
8
y=84,69e^{0,106\times8}
y
=
84
,
69
e
0
,
106
×
8
Ainsi :
y
=
198
y=198
y
=
198
Avec cet ajustement exponentiel, nous pouvons prévoir un indice de
198
198
198
en
2022
2022
2022
.