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Effectuer un ajustement exponentiel - Exercice 3

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Le tableau ci-dessous présente l’évolution de l’indice des dépenses mensuels d'un étudiant dans notre chère capitale Parisienne entre 20152015 et 20202020 (base 100100 en 20152015).
Question 1

Dans le plan muni d’un repère orthogonal d’unités graphiques : 22 cm pour une année sur l’axe des abscisses et 11 cm pour 1010 adhérents sur l’axe des ordonnées (en plaçant 100100 à l’origine), représenter le nuage de
points associé à la série (xi;yi)\left(x_i;y_i\right)

Correction
Question 2

Peut-on effectuer un ajustement affine ? A VOIR SI JE GARDE CETTE QUESTION

Correction
    Coefficient de correˊlation \red{\text{Coefficient de corrélation }}
  • Soit rr le coefficient de correˊlation \red{\text{coefficient de corrélation }} linéaire d'une série statistique à deux variables xx et yy défini par : r=cov(x,y)σxσyr=\frac{\text{cov}\left(x,y\right)}{\sigma _{x} \sigma _{y} } où σx\sigma _{x} est l'écart type de la série xx et σy\sigma _{y} est l'écart type de la série yy.
  • Nous allons souvent déterminer rr à l'aide de la calculatrice. rr est un réel appartenant à l'intervalle [−1;1]\left[-1;1\right]
  • Lorsque rr est très proche de 11 ou de −1-1, cela signifie que les points sont presque tous alignés et que l'ajustement affine de cette série statistique est envisageable. On parle de corrélation linéaire entre les variables xx et yy .
    • A l'aide de la calculatrice, le coefficient de corrélation vaut r≈0,971r\approx 0,971 à 0,010,01 près.
    Le coefficient de corrélation n’est pas treˋs proche de 1 \blue{\text{n'est pas très proche de 1 }}.
    Cela signifie que les points ne sont pas tous alignés et que l’ajustement affine de cette seˊrie statistique n’est pas envisageable.\red{\text{l'ajustement affine de cette série statistique n'est pas envisageable.}}
    Question 3
    On pose z=ln⁡(y){\color{blue}{z=\ln\left(y\right)}}

    Recopier et compléter le tableau suivant en arrondissant les valeurs de ziz_{i} au millième .

    Correction
    Nous allons détailler un exemple.
  • Lorsque y=106,3y=106,3 alors z=ln⁡(106,3)z=\ln\left(106,3\right) ce qui nous donne z≈4,5z\approx 4,5 arrondi à 10−310^{-3} près.
    • Question 4

    Déterminer une équation de la droite d’ajustement de zz en xx obtenue par la méthode des moindres carrés et la tracer sur le graphique précédent. (Les coefficients seront arrondis au millième).

    Correction
    Une équation de la droite (d)\left(d\right) d'ajustement de zz en xx par la méthode des moindres carrés obtenue à l'aide de la calculatrice, est
    z=0,106x+4,44z=0,106x+4,44
    (coefficients arrondis au centième)
    Question 5

    En déduire une approximation du nombre d’adhérents yy en fonction du rang xx de l’année. On vérifiera que y=AeBxy=Ae^{Bx} où AA et BB sont deux réels à déterminer.

    Correction
    Nous savons que z=ln⁡(y)z=\ln\left(y\right) et que z=0,106x+4,439z=0,106x+4,439. Il en résulte donc que :
    ln⁡(y)=0,106x+4,439\ln \left(y\right)=0,106x+4,439
    eln⁡(y)=e0,106x+4,439e^{\ln \left(y\right)} =e^{0,106x+4,439}
    y=e0,106x+4,439y=e^{0,106x+4,439}
    y=e0,106x×e4,439y=e^{0,106x} \times e^{4,439} . Or : e4,439≈84,69e^{4,439} \approx 84,69
    Ainsi :
    y=84,69e0,106xy=84,69e^{0,106x}

    Par identification, on a alors : A=84,69A=84,69 et B=0,106B=0,106
    Question 6

    En supposant que notre ajustement exponentiel précédent reste valable pour les années suivantes, donner une estimation de l'indice (arrondi à l'unité) de la dépense de l'étudiant en 20222022.

    Correction
    Nous avons obtenu l'ajustement exponentiel y=84,69e0,106xy=84,69e^{0,106x}
    L'année 20222022 correspond au rang x=8x=8
    Il vient alors que :
    y=84,69e0,106×8y=84,69e^{0,106\times8}
    Ainsi :
    y=198y=198

    Avec cet ajustement exponentiel, nous pouvons prévoir un indice de 198198 en 20222022.

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