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Statistiques à deux variables
Effectuer un ajustement exponentiel - Exercice 2
20 min
35
Le tableau suivant donne l’évolution du nombre d’adhérents d’un club de basket de
2014
2014
2014
à
2019
2019
2019
.
Question 1
On cherche à étudier l’évolution du nombre
y
y
y
d’adhérents en fonction du rang
x
x
x
de l’année.
Partie A : un ajustement affine.
\text{\red{Partie A : un ajustement affine.}}
Partie A : un ajustement affine.
Dans le plan muni d’un repère orthogonal d’unités graphiques :
2
2
2
cm pour une année sur l’axe des abscisses et
1
1
1
cm pour
20
20
20
adhérents sur l’axe des ordonnées, représenter le nuage de points associé à la série
(
x
i
;
y
i
)
\left(x_i;y_i\right)
(
x
i
;
y
i
)
Correction
Question 2
Déterminer une équation de la droite d’ajustement de
y
y
y
en
x
x
x
obtenue par la méthode des moindres carrés et la tracer sur le graphique précédent. (Les coefficients seront arrondis à l’unité).
Correction
Une équation de la droite
(
d
)
\left(d\right)
(
d
)
d'ajustement de
y
y
y
en
x
x
x
par la méthode des moindres carrés obtenue à l'aide de la calculatrice, est
y
=
29
x
+
33
y=29x+33
y
=
29
x
+
33
(coefficients arrondis à l'unité)
Question 3
En supposant que cet ajustement reste valable pour les années suivantes, donner une estimation du nombre d’adhérents en
2021
2021
2021
.
Correction
L'année
2021
2021
2021
correspond au rang
x
=
8
x=8
x
=
8
L'ajustement affine, d'après la question
2
2
2
, est :
y
=
29
x
+
33
y=29x+33
y
=
29
x
+
33
Il en résulte donc que :
y
=
29
×
8
+
33
y=29 \times 8+33
y
=
29
×
8
+
33
y
=
232
+
33
y=232+33
y
=
232
+
33
Ainsi :
y
=
265
y=265
y
=
265
Avec cet ajustement, nous pouvons prévoir
265
265
265
adhérents en
2021
2021
2021
.
Question 4
Partie A : un ajustement exponentiel.
\text{\red{Partie A : un ajustement exponentiel.}}
Partie A : un ajustement exponentiel.
On pose
z
=
ln
(
y
)
{\color{blue}{z=\ln\left(y\right)}}
z
=
l
n
(
y
)
Recopier et compléter le tableau suivant en arrondissant les valeurs de
z
i
z_{i}
z
i
au millième .
Correction
Nous allons détailler un exemple.
Lorsque
y
=
90
y=90
y
=
90
alors
z
=
ln
(
90
)
z=\ln\left(90\right)
z
=
ln
(
90
)
ce qui nous donne
z
≈
4
,
5
z\approx 4,5
z
≈
4
,
5
arrondi à
1
0
−
3
10^{-3}
1
0
−
3
près.
Question 5
Déterminer une équation de la droite d’ajustement de
z
z
z
en
x
x
x
obtenue par la méthode des moindres carrés et la tracer sur le graphique précédent. (Les coefficients seront arrondis au millième).
Correction
Une équation de la droite
(
d
)
\left(d\right)
(
d
)
d'ajustement de
z
z
z
en
x
x
x
par la méthode des moindres carrés obtenue à l'aide de la calculatrice, est
z
=
0
,
224
x
+
4
,
044
z=0,224x+4,044
z
=
0
,
224
x
+
4
,
044
(coefficients arrondis au centième)
Question 6
En déduire une approximation du nombre d’adhérents
y
y
y
en fonction du rang
x
x
x
de l’année. On vérifiera que
y
=
A
e
B
x
y=Ae^{Bx}
y
=
A
e
B
x
où
A
A
A
et
B
B
B
sont deux réels à déterminer.
Correction
Nous savons que
z
=
ln
(
y
)
z=\ln\left(y\right)
z
=
ln
(
y
)
et que
z
=
0
,
224
x
+
4
,
044
z=0,224x+4,044
z
=
0
,
224
x
+
4
,
044
. Il en résulte donc que :
ln
(
y
)
=
0
,
224
x
+
4
,
044
\ln \left(y\right)=0,224x+4,044
ln
(
y
)
=
0
,
224
x
+
4
,
044
e
ln
(
y
)
=
e
0
,
224
x
+
4
,
044
e^{\ln \left(y\right)} =e^{0,224x+4,044}
e
l
n
(
y
)
=
e
0
,
224
x
+
4
,
044
y
=
e
0
,
224
x
+
4
,
044
y=e^{0,224x+4,044}
y
=
e
0
,
224
x
+
4
,
044
y
=
e
0
,
224
x
×
e
4
,
044
y=e^{0,224x} \times e^{4,044}
y
=
e
0
,
224
x
×
e
4
,
044
. Or :
e
4
,
044
≈
57
,
041
e^{4,044} \approx 57,041
e
4
,
044
≈
57
,
041
Ainsi :
y
=
57
,
041
e
0
,
224
x
y=57,041e^{0,224x}
y
=
57
,
041
e
0
,
224
x
Par identification, on a alors :
A
=
57
,
041
A=57,041
A
=
57
,
041
et
B
=
0
,
224
B=0,224
B
=
0
,
224
Question 7
En prenant l’approximation
y
≈
57
,
1
e
0
,
224
x
y\approx 57,1e^{0,224x}
y
≈
57
,
1
e
0
,
224
x
et en supposant qu’elle reste valable pour les années suivantes, donner une estimation du nombre d’adhérents en
2021
2021
2021
.
Correction
On nous donne l'ajustement exponentiel
y
≈
57
,
1
e
0
,
224
x
y\approx 57,1e^{0,224x}
y
≈
57
,
1
e
0
,
224
x
L'année
2021
2021
2021
correspond au rang
x
=
8
x=8
x
=
8
Il vient alors que :
y
≈
57
,
1
e
0
,
224
×
8
y\approx 57,1e^{0,224\times8}
y
≈
57
,
1
e
0
,
224
×
8
Ainsi :
y
≈
343
y\approx 343
y
≈
343
Avec cet ajustement exponentiel, nous pouvons prévoir
343
343
343
adhérents en
2021
2021
2021
.