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Effectuer un ajustement exponentiel - Exercice 1

10 min

Question 1

On considère la série statistique à deux variables suivante :

On pose $z_i=\ln\left(y_i\right)$ . Calculer les valeurs de $z_i$ arrondies au centième.

Correction

Nous allons détailler un exemple.

Lorsque

y=4

alors

z=\ln\left(4\right)

ce qui nous donne

z\approx 1,39

arrondi à

10^{-2}

près.

Question 2

Représenter le nuage de points $\left(x_i;z_i\right)$ dans un repère et vérifier que l'on peut effectuer un ajustement affine.

Correction

\red{\text{Coefficient de corrélation }}

Soit

r

\red{\text{coefficient de corrélation }}

linéaire d'une série statistique à deux variables

x

y

défini par :

r=\frac{\text{cov}\left(x,y\right)}{\sigma _{x} \sigma _{y} }

où

\sigma _{x}

est l'écart type de la série

x

\sigma _{y}

est l'écart type de la série

y

Nous allons souvent déterminer

r

à l'aide de la calculatrice.

r

est un réel appartenant à l'intervalle

\left[-1;1\right]

Lorsque

r

est très proche de

1

ou de

-1

, cela signifie que les points sont presque tous alignés et que l'ajustement affine de cette série statistique est envisageable. On parle de corrélation linéaire entre les variables

x

y

A l'aide de la calculatrice, le coefficient de corrélation vaut

r\approx0,9985

10^{-4}

près.
Le coefficient de corrélation est très proche de

1

. Cela signifie que les points sont presque tous alignés et que l'ajustement affine de cette série statistique est envisageable.

Question 3

A l'aide de la calculatrice, déterminer l'équation de la droite de régression de $z$ en $x$ . Arrondir au centième.

Correction

Une équation de la droite

\left(d\right)

d'ajustement de

z

x

par la méthode des moindres carrés obtenue à l'aide de la calculatrice, est

z=0,02x-0,49

(coefficients arrondis au centième)

Question 4

En déduire une expression de $y$ en fonction de $x$ . On vérifiera que $y=Ae^{Bx}$ où $A$ et $B$ sont deux réels à déterminer.

Correction

Nous savons que

z=\ln\left(y\right)

et que

z=0,02x-0,49

. Il en résulte donc que :

\ln \left(y\right)=0,02x-0,49

e^{\ln \left(y\right)} =e^{0,02x-0,49}

y=e^{0,02x-0,49}

y=e^{0,02x} \times e^{-0,49}

. Or :

e^{-0,49} \approx 0,612

Ainsi :

y=0,612e^{0,02x}

Par identification, on a alors :

A=0,612

B=0,02

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Effectuer un ajustement exponentiel - Exercice 1

On pose zi=ln⁡(yi)z_i=\ln\left(y_i\right)zi​=ln(yi​). Calculer les valeurs de ziz_izi​ arrondies au centième.

Représenter le nuage de points (xi;zi)\left(x_i;z_i\right)(xi​;zi​) dans un repère et vérifier que l'on peut effectuer un ajustement affine.

A l'aide de la calculatrice, déterminer l'équation de la droite de régression de zzz en xxx . Arrondir au centième.

En déduire une expression de yyy en fonction de xxx . On vérifiera que y=AeBxy=Ae^{Bx}y=AeBx où AAA et BBB sont deux réels à déterminer.

On pose $z_i=\ln\left(y_i\right)$ . Calculer les valeurs de $z_i$ arrondies au centième.

Représenter le nuage de points $\left(x_i;z_i\right)$ dans un repère et vérifier que l'on peut effectuer un ajustement affine.

A l'aide de la calculatrice, déterminer l'équation de la droite de régression de $z$ en $x$ . Arrondir au centième.

En déduire une expression de $y$ en fonction de $x$ . On vérifiera que $y=Ae^{Bx}$ où $A$ et $B$ sont deux réels à déterminer.