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Statistiques à deux variables

Effectuer un ajustement exponentiel - Exercice 1

10 min
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Question 1
On considère la série statistique à deux variables suivante :

On pose zi=ln(yi)z_i=\ln\left(y_i\right). Calculer les valeurs de ziz_i arrondies au centième.

Correction
Nous allons détailler un exemple.
  • Lorsque y=4y=4 alors z=ln(4)z=\ln\left(4\right) ce qui nous donne z1,39z\approx 1,39 arrondi à 10210^{-2} près.
  • Question 2

    Représenter le nuage de points (xi;zi)\left(x_i;z_i\right) dans un repère et vérifier que l'on peut effectuer un ajustement affine.

    Correction
      Coefficient de correˊlation \red{\text{Coefficient de corrélation }}
  • Soit rr le coefficient de correˊlation \red{\text{coefficient de corrélation }} linéaire d'une série statistique à deux variables xx et yy défini par : r=cov(x,y)σxσyr=\frac{\text{cov}\left(x,y\right)}{\sigma _{x} \sigma _{y} }σx\sigma _{x} est l'écart type de la série xx et σy\sigma _{y} est l'écart type de la série yy.
  • Nous allons souvent déterminer rr à l'aide de la calculatrice. rr est un réel appartenant à l'intervalle [1;1]\left[-1;1\right]
  • Lorsque rr est très proche de 11 ou de 1-1, cela signifie que les points sont presque tous alignés et que l'ajustement affine de cette série statistique est envisageable. On parle de corrélation linéaire entre les variables xx et yy .
  • A l'aide de la calculatrice, le coefficient de corrélation vaut r0,9985r\approx0,9985 à 10410^{-4} près.
    Le coefficient de corrélation est très proche de 11 . Cela signifie que les points sont presque tous alignés et que l'ajustement affine de cette série statistique est envisageable.
    Question 3

    A l'aide de la calculatrice, déterminer l'équation de la droite de régression de zz en xx . Arrondir au centième.

    Correction
    Une équation de la droite (d)\left(d\right) d'ajustement de zz en xx par la méthode des moindres carrés obtenue à l'aide de la calculatrice, est
    z=0,02x0,49z=0,02x-0,49
    (coefficients arrondis au centième)
    Question 4

    En déduire une expression de yy en fonction de xx . On vérifiera que y=AeBxy=Ae^{Bx}AA et BB sont deux réels à déterminer.

    Correction
    Nous savons que z=ln(y)z=\ln\left(y\right) et que z=0,02x0,49z=0,02x-0,49. Il en résulte donc que :
    ln(y)=0,02x0,49\ln \left(y\right)=0,02x-0,49
    eln(y)=e0,02x0,49e^{\ln \left(y\right)} =e^{0,02x-0,49}
    y=e0,02x0,49y=e^{0,02x-0,49}
    y=e0,02x×e0,49y=e^{0,02x} \times e^{-0,49} . Or : e0,490,612e^{-0,49} \approx 0,612
    Ainsi :
    y=0,612e0,02xy=0,612e^{0,02x}

    Par identification, on a alors : A=0,612A=0,612 et B=0,02B=0,02