Effectuer un ajustement exponentiel

Nous allons détailler un exemple.

Lorsque $y=4$ alors $z=\ln\left(4\right)$ ce qui nous donne $z\approx 1,39$ arrondi à $10^{-2}$ près.

A l'aide de la calculatrice, le coefficient de corrélation vaut $r\approx0,9985$ à $10^{-4}$ près.
Le coefficient de corrélation est très proche de $1$ . Cela signifie que les points sont presque tous alignés et que l'ajustement affine de cette série statistique est envisageable.

Une équation de la droite $\left(d\right)$ d'ajustement de $z$ en $x$ par la méthode des moindres carrés obtenue à l'aide de la calculatrice, est (coefficients arrondis au centième)

Nous savons que $z=\ln\left(y\right)$ et que $z=0,02x-0,49$. Il en résulte donc que :
$\ln \left(y\right)=0,02x-0,49$
$e^{\ln \left(y\right)} =e^{0,02x-0,49}$
$y=e^{0,02x-0,49}$
$y=e^{0,02x} \times e^{-0,49}$ . Or : $e^{-0,49} \approx 0,612$
Ainsi :
Par identification, on a alors : $A=0,612$ et $B=0,02$

Une équation de la droite $\left(d\right)$ d'ajustement de $y$ en $x$ par la méthode des moindres carrés obtenue à l'aide de la calculatrice, est (coefficients arrondis à l'unité)

L'année $2021$ correspond au rang $x=8$
L'ajustement affine, d'après la question $2$, est : $y=29x+33$
Il en résulte donc que :
$y=29 \times 8+33$
$y=232+33$
Ainsi :
Avec cet ajustement, nous pouvons prévoir $265$ adhérents en $2021$.

Nous allons détailler un exemple.

Lorsque $y=90$ alors $z=\ln\left(90\right)$ ce qui nous donne $z\approx 4,5$ arrondi à $10^{-3}$ près.

Une équation de la droite $\left(d\right)$ d'ajustement de $z$ en $x$ par la méthode des moindres carrés obtenue à l'aide de la calculatrice, est (coefficients arrondis au centième)

Nous savons que $z=\ln\left(y\right)$ et que $z=0,224x+4,044$. Il en résulte donc que :
$\ln \left(y\right)=0,224x+4,044$
$e^{\ln \left(y\right)} =e^{0,224x+4,044}$
$y=e^{0,224x+4,044}$
$y=e^{0,224x} \times e^{4,044}$ . Or : $e^{4,044} \approx 57,041$
Ainsi :
Par identification, on a alors : $A=57,041$ et $B=0,224$

On nous donne l'ajustement exponentiel $y\approx 57,1e^{0,224x}$
L'année $2021$ correspond au rang $x=8$
Il vient alors que :
$y\approx 57,1e^{0,224\times8}$
Ainsi :
Avec cet ajustement exponentiel, nous pouvons prévoir $343$ adhérents en $2021$.

A l'aide de la calculatrice, le coefficient de corrélation vaut $r\approx 0,971$ à $0,01$ près.
Le coefficient de corrélation $\blue{\text{n'est pas très proche de 1 }}$.
Cela signifie que les points ne sont pas tous alignés et que $\red{\text{l'ajustement affine de cette série statistique n'est pas envisageable.}}$

Nous allons détailler un exemple.

Lorsque $y=106,3$ alors $z=\ln\left(106,3\right)$ ce qui nous donne $z\approx 4,5$ arrondi à $10^{-3}$ près.

Une équation de la droite $\left(d\right)$ d'ajustement de $z$ en $x$ par la méthode des moindres carrés obtenue à l'aide de la calculatrice, est (coefficients arrondis au centième)

Nous savons que $z=\ln\left(y\right)$ et que $z=0,106x+4,439$. Il en résulte donc que :
$\ln \left(y\right)=0,106x+4,439$
$e^{\ln \left(y\right)} =e^{0,106x+4,439}$
$y=e^{0,106x+4,439}$
$y=e^{0,106x} \times e^{4,439}$ . Or : $e^{4,439} \approx 84,69$
Ainsi :
Par identification, on a alors : $A=84,69$ et $B=0,106$

Nous avons obtenu l'ajustement exponentiel $y=84,69e^{0,106x}$
L'année $2022$ correspond au rang $x=8$
Il vient alors que :
$y=84,69e^{0,106\times8}$
Ainsi :
Avec cet ajustement exponentiel, nous pouvons prévoir un indice de $198$ en $2022$.