On pose zi=ln(yi). Calculer les valeurs de zi arrondies au centième.
Correction
Nous allons détailler un exemple.
Lorsque y=4 alors z=ln(4) ce qui nous donne z≈1,39 arrondi à 10−2 près.
2
Représenter le nuage de points (xi;zi) dans un repère et vérifier que l'on peut effectuer un ajustement affine.
Correction
Coefficient de correˊlation
Soit r le coefficient de correˊlation linéaire d'une série statistique à deux variables x et y défini par : r=σxσycov(x,y) où σx est l'écart type de la série x et σy est l'écart type de la série y.
Nous allons souvent déterminer r à l'aide de la calculatrice. r est un réel appartenant à l'intervalle [−1;1]
Lorsque r est très proche de 1 ou de −1, cela signifie que les points sont presque tous alignés et que l'ajustement affine de cette série statistique est envisageable. On parle de corrélation linéaire entre les variables x et y .
A l'aide de la calculatrice, le coefficient de corrélation vaut r≈0,9985 à 10−4 près. Le coefficient de corrélation est très proche de 1 . Cela signifie que les points sont presque tous alignés et que l'ajustement affine de cette série statistique est envisageable.
3
A l'aide de la calculatrice, déterminer l'équation de la droite de régression de z en x . Arrondir au centième.
Correction
Une équation de la droite (d) d'ajustement de z en x par la méthode des moindres carrés obtenue à l'aide de la calculatrice, est
z=0,02x−0,49
(coefficients arrondis au centième)
4
En déduire une expression de y en fonction de x . On vérifiera que y=AeBx où A et B sont deux réels à déterminer.
Correction
Nous savons que z=ln(y) et que z=0,02x−0,49. Il en résulte donc que : ln(y)=0,02x−0,49 eln(y)=e0,02x−0,49 y=e0,02x−0,49 y=e0,02x×e−0,49 . Or : e−0,49≈0,612 Ainsi :
y=0,612e0,02x
Par identification, on a alors : A=0,612 et B=0,02
Exercice 2
Le tableau suivant donne l’évolution du nombre d’adhérents d’un club de basket de 2014 à 2019.
On cherche à étudier l’évolution du nombre y d’adhérents en fonction du rang x de l’année. Partie A : un ajustement affine.
1
Dans le plan muni d’un repère orthogonal d’unités graphiques : 2 cm pour une année sur l’axe des abscisses et 1 cm pour 20 adhérents sur l’axe des ordonnées, représenter le nuage de points associé à la série (xi;yi)
Correction
2
Déterminer une équation de la droite d’ajustement de y en x obtenue par la méthode des moindres carrés et la tracer sur le graphique précédent. (Les coefficients seront arrondis à l’unité).
Correction
Une équation de la droite (d) d'ajustement de y en x par la méthode des moindres carrés obtenue à l'aide de la calculatrice, est
y=29x+33
(coefficients arrondis à l'unité)
3
En supposant que cet ajustement reste valable pour les années suivantes, donner une estimation du nombre d’adhérents en 2021.
Correction
L'année 2021 correspond au rang x=8 L'ajustement affine, d'après la question 2, est : y=29x+33 Il en résulte donc que : y=29×8+33 y=232+33 Ainsi :
y=265
Avec cet ajustement, nous pouvons prévoir 265 adhérents en 2021.
Partie A : un ajustement exponentiel. On pose z=ln(y)
4
Recopier et compléter le tableau suivant en arrondissant les valeurs de zi au millième .
Correction
Nous allons détailler un exemple.
Lorsque y=90 alors z=ln(90) ce qui nous donne z≈4,5 arrondi à 10−3 près.
5
Déterminer une équation de la droite d’ajustement de z en x obtenue par la méthode des moindres carrés et la tracer sur le graphique précédent. (Les coefficients seront arrondis au millième).
Correction
Une équation de la droite (d) d'ajustement de z en x par la méthode des moindres carrés obtenue à l'aide de la calculatrice, est
z=0,224x+4,044
(coefficients arrondis au centième)
6
En déduire une approximation du nombre d’adhérents y en fonction du rang x de l’année. On vérifiera que y=AeBx où A et B sont deux réels à déterminer.
Correction
Nous savons que z=ln(y) et que z=0,224x+4,044. Il en résulte donc que : ln(y)=0,224x+4,044 eln(y)=e0,224x+4,044 y=e0,224x+4,044 y=e0,224x×e4,044 . Or : e4,044≈57,041 Ainsi :
y=57,041e0,224x
Par identification, on a alors : A=57,041 et B=0,224
7
En prenant l’approximation y≈57,1e0,224x et en supposant qu’elle reste valable pour les années suivantes, donner une estimation du nombre d’adhérents en 2021.
Correction
On nous donne l'ajustement exponentiel y≈57,1e0,224x L'année 2021 correspond au rang x=8 Il vient alors que : y≈57,1e0,224×8 Ainsi :
y≈343
Avec cet ajustement exponentiel, nous pouvons prévoir 343 adhérents en 2021.
Exercice 3
Le tableau ci-dessous présente l’évolution de l’indice des dépenses mensuels d'un étudiant dans notre chère capitale Parisienne entre 2015 et 2020 (base 100 en 2015).
1
Dans le plan muni d’un repère orthogonal d’unités graphiques : 2 cm pour une année sur l’axe des abscisses et 1 cm pour 10 adhérents sur l’axe des ordonnées (en plaçant 100 à l’origine), représenter le nuage de points associé à la série (xi;yi)
Correction
2
Peut-on effectuer un ajustement affine ? A VOIR SI JE GARDE CETTE QUESTION
Correction
Coefficient de correˊlation
Soit r le coefficient de correˊlation linéaire d'une série statistique à deux variables x et y défini par : r=σxσycov(x,y) où σx est l'écart type de la série x et σy est l'écart type de la série y.
Nous allons souvent déterminer r à l'aide de la calculatrice. r est un réel appartenant à l'intervalle [−1;1]
Lorsque r est très proche de 1 ou de −1, cela signifie que les points sont presque tous alignés et que l'ajustement affine de cette série statistique est envisageable. On parle de corrélation linéaire entre les variables x et y .
A l'aide de la calculatrice, le coefficient de corrélation vaut r≈0,971 à 0,01 près. Le coefficient de corrélation n’est pas treˋs proche de 1 . Cela signifie que les points ne sont pas tous alignés et que l’ajustement affine de cette seˊrie statistique n’est pas envisageable.
On pose z=ln(y)
3
Recopier et compléter le tableau suivant en arrondissant les valeurs de zi au millième .
Correction
Nous allons détailler un exemple.
Lorsque y=106,3 alors z=ln(106,3) ce qui nous donne z≈4,5 arrondi à 10−3 près.
4
Déterminer une équation de la droite d’ajustement de z en x obtenue par la méthode des moindres carrés et la tracer sur le graphique précédent. (Les coefficients seront arrondis au millième).
Correction
Une équation de la droite (d) d'ajustement de z en x par la méthode des moindres carrés obtenue à l'aide de la calculatrice, est
z=0,106x+4,44
(coefficients arrondis au centième)
5
En déduire une approximation du nombre d’adhérents y en fonction du rang x de l’année. On vérifiera que y=AeBx où A et B sont deux réels à déterminer.
Correction
Nous savons que z=ln(y) et que z=0,106x+4,439. Il en résulte donc que : ln(y)=0,106x+4,439 eln(y)=e0,106x+4,439 y=e0,106x+4,439 y=e0,106x×e4,439 . Or : e4,439≈84,69 Ainsi :
y=84,69e0,106x
Par identification, on a alors : A=84,69 et B=0,106
6
En supposant que notre ajustement exponentiel précédent reste valable pour les années suivantes, donner une estimation de l'indice (arrondi à l'unité) de la dépense de l'étudiant en 2022.
Correction
Nous avons obtenu l'ajustement exponentiel y=84,69e0,106x L'année 2022 correspond au rang x=8 Il vient alors que : y=84,69e0,106×8 Ainsi :
y=198
Avec cet ajustement exponentiel, nous pouvons prévoir un indice de 198 en 2022.
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