Statistiques à deux variables

Calculer une droite d’ajustement par la méthode des moindres carrées : covariance de xx et yy et variance de xx - Exercice 1

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Voici un tableau (série statistique) qui recense les gains, en milliers d'euros, d'une entreprise depuis sa création en 20072007.
Question 1

Représenter le nuage de points (xi,yi)\left(x_{i},y_{i}\right) associé à la série statistique dans le repère donné ci-dessus.

Correction
Question 2

Déterminer les coordonnées du point moyen GG de ce nuage. Placer le point GG

Correction
Le point moyen G(xG;yG)G\left(x_{G};y_{G}\right) d'un nuage de points est le point dont l'abscisse est la moyenne des abscisses xix_{i}, et l'ordonnée la moyenne des ordonnées yiy_{i}.
Ses coordonnées (xG;yG)\left(x_{G};y_{G}\right) vérifient donc : xG=x1+x2++xnnx_{G}=\frac{x_{1}+x_{2}+\ldots +x_{n}}{n} et yG=y1+y2++ynny_{G}=\frac{y_{1}+y_{2}+\ldots +y_{n}}{n}.
  • Le point moyen G\red{\text{Le point moyen G}} peut aussi être noté G(x;y)G\left(\overline{x};\overline{y}\right) .
  • Les coordonnées du point moyen GG de cette série statistique sont :
    xG=0+1+2+3+4+5+6+7+8+9+1011x_{G} =\frac{0+1+2+3+4+5+6+7+8+9+10}{11}
    xG=5x_{G} =5

    yG=9+11+13+16+20+21+29+35+41+49+5711y_{G} =\frac{9+11+13+16+20+21+29+35+41+49+57}{11}
    yG=3011127,36y_{G} =\frac{301}{11} \approx 27,36

    Les coordonnées du point moyen GG sont : G(5;27,36)G\left(5;27,36\right)
    Nous allons donc maintenant placer le point moyen GG dans le repère :
    Question 3

    Calculer la covariance de xx et yy puis la variance de xx .

    Correction
    Une équation de la droite (d)\left(d\right) d'ajustement de yy en xx par la méthode des moindres carrés obtenue à l'aide de la calculatrice, est
    y=4,75x+3,6y=4,75x+3,6
    (coefficients arrondis au centième)
    Question 4

    Tracer la droite (d)\left(d\right) dans le repère .

    Correction
    La droite (d)\left(d\right) doit passer obligatoirement par le point moyen GG .
    Il nous faut donc un deuxième point pour tracer la droite. Pour cela, on choisit une valeur de xx quelconque, par exemple x=2x=2. Il vient alors que y=4,75×2+3,6=13,1y=4,75\times 2+3,6=13,1
    La droite (d)\left(d\right) passe donc par le point moyen G(5;27,36)G\left(5;27,36\right) et également par le point (2;13,1)\left(2;13,1\right) .
    Il en résulte donc que :