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Savoir résoudre une équation différentielle de la forme y=ay+by'=ay+b - Exercice 2

6 min
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Question 1

Résoudre l'équation différentielle suivante : 6y+30y+12=06y'+30y+12=0

Correction
Soit l’équation différentielle y=ay+by'=ay+baa et bb sont deux réels, avec a0a\ne 0 , et où yy est une fonction de la variable xx définie et dérivable sur R\mathbb{R}.
  • Les solutions de cette équation sont les fonctions de la forme : f(x)=keaxbaf\left(x\right)=ke^{ax} -\frac{b}{a}kk est une constante réelle.
  • La fonction f0(x)=baf_0\left(x\right)=-\frac{b}{a} est appeleˊe solution particulieˋre constante\text{\red{appelée solution particulière constante}} de l'équation différentielle.
  • Nous allons transformer l'écriture afin de revenir à une forme y=ayy'=ay. Ainsi :
    6y+30y+12=06y'+30y+12=0 équivaut successivement à :
    6y=30y126y'=-30y-12
    y=306y126y'=\frac{-30}{6} y-\frac{12}{6}
    y=5y2y'=-5y-2
    On identifie ici que : a=5a=-5 et b=2b=-2.
    Il en résulte que les solutions de l'équation sont alors : f(x)=ke5x(2)(5)f\left(x\right)=ke^{-5x} -\frac{\left(-2\right)}{\left(-5\right)}kk est une constante réelle.
    Finalement :
    f(x)=ke5x25f\left(x\right)=ke^{-5x} -\frac{2}{5}
    kk est une constante réelle.
    Question 2

    Résoudre l'équation différentielle suivante : 2y3y+12=02y'-3y+12=0

    Correction
    Soit l’équation différentielle y=ay+by'=ay+baa et bb sont deux réels, avec a0a\ne 0 , et où yy est une fonction de la variable xx définie et dérivable sur R\mathbb{R}.
  • Les solutions de cette équation sont les fonctions de la forme : f(x)=keaxbaf\left(x\right)=ke^{ax} -\frac{b}{a}kk est une constante réelle.
  • La fonction f0(x)=baf_0\left(x\right)=-\frac{b}{a} est appeleˊe solution particulieˋre constante\text{\red{appelée solution particulière constante}} de l'équation différentielle.
  • Nous allons transformer l'écriture afin de revenir à une forme y=ayy'=ay. Ainsi :
    2y3y+12=02y'-3y+12=0 équivaut successivement à :
    2y=3y122y'=3y-12
    y=32y122y'=\frac{3}{2} y-\frac{12}{2}
    y=32y6y'=\frac{3}{2} y-6
    On identifie ici que : a=32a=\frac{3}{2} et b=6b=-6.
    Il en résulte que les solutions de l'équation sont alors : f(x)=ke32x(6)(32)f\left(x\right)=ke^{\frac{3}{2}x} -\frac{\left(-6\right)}{\left(\frac{3}{2}\right)}kk est une constante réelle.
    Finalement :
    f(x)=ke32x+4f\left(x\right)=ke^{\frac{3}{2}x} +4
    kk est une constante réelle.
    Question 3

    Résoudre l'équation différentielle suivante : 3y+7y2=0-3y'+7y-2=0

    Correction
    Soit l’équation différentielle y=ay+by'=ay+baa et bb sont deux réels, avec a0a\ne 0 , et où yy est une fonction de la variable xx définie et dérivable sur R\mathbb{R}.
  • Les solutions de cette équation sont les fonctions de la forme : f(x)=keaxbaf\left(x\right)=ke^{ax} -\frac{b}{a}kk est une constante réelle.
  • La fonction f0(x)=baf_0\left(x\right)=-\frac{b}{a} est appeleˊe solution particulieˋre constante\text{\red{appelée solution particulière constante}} de l'équation différentielle.
  • Nous allons transformer l'écriture afin de revenir à une forme y=ayy'=ay. Ainsi :
    3y+7y2=0-3y'+7y-2=0 équivaut successivement à :
    3y=7y+2-3y'=-7y+2
    y=73y+23y'=\frac{-7}{-3} y+\frac{2}{-3}
    y=73y23y'=\frac{7}{3} y-\frac{2}{3}
    On identifie ici que : a=73a=\frac{7}{3} et b=23b=-\frac{2}{3}.
    Il en résulte que les solutions de l'équation sont alors : f(x)=ke73x(23)(73)f\left(x\right)=ke^{\frac{7}{3}x} -\frac{\left(-\frac{2}{3}\right)}{\left(\frac{7}{3}\right)}kk est une constante réelle.
    Finalement :
    f(x)=ke73x+27f\left(x\right)=ke^{\frac{7}{3}x} +\frac{2}{7}
    kk est une constante réelle.