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Savoir résoudre une équation différentielle de la forme y=ay+by'=ay+b avec une condition - Exercice 4

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Question 1
On considère (E)\left(E\right) l'équation différentielle suivante : y=6y+2y'=-6y+2 .

Déterminer la fonction ff solution de l'équation différentielle (E)\left(E\right) telle que la courbe de ff au point d'abscisse 11 admet une tangente de coefficient directeur 44 .

Correction
Soit l’équation différentielle y=ay+by'=ay+baa et bb sont deux réels, avec a0a\ne 0 , et où yy est une fonction de la variable xx définie et dérivable sur R\mathbb{R}.
  • Les solutions de cette équation sont les fonctions de la forme : f(x)=keaxbaf\left(x\right)=ke^{ax} -\frac{b}{a}kk est une constante réelle.
  • La fonction f0(x)=baf_0\left(x\right)=-\frac{b}{a} est appeleˊe solution particulieˋre constante\text{\red{appelée solution particulière constante}} de l'équation différentielle.
  • On identifie ici que : a=6a=-6 et b=2b=2.
    Il en résulte que les solutions de l'équation sont alors : f(x)=ke6x2(6)f\left(x\right)=ke^{-6x} -\frac{2}{\left(-6\right)}kk est une constante réelle.
    Finalement : f(x)=ke6x+13f\left(x\right)=ke^{-6x}+\frac{1}{3}kk est une constante réelle .
    D'après les hypothèses, nous savons que la courbe de ff au point d'abscisse 11 admet une tangente de coefficient directeur 44 . Cela se traduit par f(1)=4f'\left(1\right)=4.
    Nous allons commencer par calculer la dérivée de f(x)=ke6x2(6)f\left(x\right)=ke^{-6x} -\frac{2}{\left(-6\right)} qui donne f(x)=6ke6xf'\left(x\right)=-6ke^{-6x} .
    Ainsi :
    f(1)=4f'\left(1\right)=4 équivaut successivement à :
    6ke6×1=4-6ke^{-6\times 1} =4
    6ke6=4-6ke^{-6} =4
    k=46e6k=\frac{4}{-6e^{-6} }
    k=23e6k=-\frac{2}{3e^{-6} }
    k=23e6k=-\frac{2}{3} e^{6}
    Il en résulte que la solution de l'équation différentielle y=6y+2y'=-6y+2 telle que la courbe de ff au point d'abscisse 11 admet une tangente de coefficient directeur 44 est alors :
    f(x)=23e6×e6x+13f\left(x\right)=-\frac{2}{3} e^{6}\times e^{-6x}+\frac{1}{3}
    f(x)=23e6x+6+13f\left(x\right)=-\frac{2}{3} e^{-6x+6}+\frac{1}{3}