Savoir résoudre une équation différentielle de la forme $$y'=ay+b$$ avec une condition - Exercice 3

On identifie ici que : $$a=4$$ et $$b=-16$$.
Il en résulte que les solutions de l'équation sont alors : $$f\left(x\right)=ke^{4x} -\frac{\left(-16\right)}{4}$$ où $$k$$ est une constante réelle.
Finalement : $$f\left(x\right)=ke^{4x}+4$$ où $$k$$ est une constante réelle
Or on sait que $$f\left(0\right)=5$$ , il vient alors que :
$$f\left(0\right)=5$$ équivaut successivement à :
$$ke^{4\times 0}+4=5$$
$$ke^{0}+4=5$$ or $$e^{0}=1$$
$$k+4=5$$
$$k=5-4$$
D'où : $$k=1$$
Il en résulte que la solution de l'équation différentielle $$y'=4y-16$$ tel que $$f\left(0\right)=5$$ est alors :

On identifie ici que : $$a=7$$ et $$b=49$$.
Il en résulte que les solutions de l'équation sont alors : $$f\left(x\right)=ke^{7x} -\frac{49}{7}$$ où $$k$$ est une constante réelle.
Finalement : $$f\left(x\right)=ke^{7x}-7$$ où $$k$$ est une constante réelle
Or on sait que $$f\left(1\right)=1$$ , il vient alors que :
$$f\left(1\right)=1$$ équivaut successivement à :
$$ke^{7\times 1}-7=1$$
$$ke^{7}=1+7$$
$$ke^{7}=8$$
$$k=\frac{8}{e^{7}}$$
D'où : $$k=8e^{-7}$$
Il en résulte que la solution de l'équation différentielle $$y'=7y+49$$ tel que $$f\left(1\right)=1$$ est alors :
$$f\left(x\right)=8e^{-7}\times e^{7x}-7$$ que l'on peut écrire :