Savoir résoudre une équation différentielle de la forme $$y'=ay+b$$ avec une condition - Exercice 2

On identifie ici que : $$a=2$$ et $$b=-10$$.
Il en résulte que les solutions de l'équation sont alors : $$f\left(x\right)=ke^{2x} -\frac{\left(-10\right)}{2}$$ où $$k$$ est une constante réelle.
Finalement : $$f\left(x\right)=ke^{2x}+5$$ où $$k$$ est une constante réelle
Or on sait que $$f\left(0\right)=2$$ , il vient alors que :
$$f\left(0\right)=2$$ équivaut successivement à :
$$ke^{2\times 0}+5=2$$
$$ke^{0}+5=2$$ or $$e^{0}=1$$
$$k+5=2$$
$$k=2-5$$
D'où : $$k=-3$$
Il en résulte que la solution de l'équation différentielle $$y'=2y-10$$ tel que $$f\left(0\right)=2$$ est alors :

On identifie ici que : $$a=2$$ et $$b=2$$.
Il en résulte que les solutions de l'équation sont alors : $$f\left(x\right)=ke^{2x} -\frac{2}{2}$$ où $$k$$ est une constante réelle.
Finalement : $$f\left(x\right)=ke^{2x}-1$$ où $$k$$ est une constante réelle
Or on sait que $$f\left(2\right)=10$$ , il vient alors que :
$$f\left(2\right)=10$$ équivaut successivement à :
$$ke^{2\times 2}-1=10$$
$$ke^{4}=10+1$$
$$ke^{4}=11$$
$$k=\frac{11}{e^{4}}$$
D'où : $$k=11e^{-4}$$
Il en résulte que la solution de l'équation différentielle $$y'=2y+2$$ tel que $$f\left(2\right)=10$$ est alors :
$$f\left(x\right)=11e^{-4}\times e^{2x}-1$$ que l'on peut écrire :

On identifie ici que : $$a=4$$ et $$b=8$$.
Il en résulte que les solutions de l'équation sont alors : $$f\left(x\right)=ke^{4x} -\frac{8}{4}$$ où $$k$$ est une constante réelle.
Finalement : $$f\left(x\right)=ke^{4x}-2$$ où $$k$$ est une constante réelle
Or on sait que $$f\left(4\right)=-1$$ , il vient alors que :
$$f\left(4\right)=-1$$ équivaut successivement à :
$$ke^{4\times 4}-2=-1$$
$$ke^{16}=-1+2$$
$$ke^{16}=1$$
$$k=\frac{1}{e^{16}}$$
D'où : $$k=1e^{-16}$$
Il en résulte que la solution de l'équation différentielle $$y'=2y+2$$ tel que $$f\left(2\right)=10$$ est alors :
$$f\left(x\right)=1e^{-16}\times e^{4x}-2$$ que l'on peut écrire :