Primitives et équations différentielles

Savoir résoudre une équation différentielle de la forme y′=ay+by'=ay+b avec une condition - Exercice 1

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Question 1

Résoudre l'équation différentielle suivante : y′=5y−20y'=5y-20 tel que f(0)=1f\left(0\right)=1

Correction
Soit l’équation différentielle y′=ay+by'=ay+b où aa et bb sont deux réels, avec a≠0a\ne 0 , et où yy est une fonction de la variable xx définie et dérivable sur R\mathbb{R}.
  • Les solutions de cette équation sont les fonctions de la forme : f(x)=keax−baf\left(x\right)=ke^{ax} -\frac{b}{a} où kk est une constante réelle.
  • La fonction f0(x)=−baf_0\left(x\right)=-\frac{b}{a} est appeleˊe solution particulieˋre constante\text{\red{appelée solution particulière constante}} de l'équation différentielle.
    • On identifie ici que : a=5a=5 et b=−20b=-20.
    Il en résulte que les solutions de l'équation sont alors : f(x)=ke5x−(−20)5f\left(x\right)=ke^{5x} -\frac{\left(-20\right)}{5} où kk est une constante réelle.
    Finalement : f(x)=ke5x+4f\left(x\right)=ke^{5x}+4 où kk est une constante réelle
    Or on sait que f(0)=1f\left(0\right)=1 , il vient alors que :
    f(0)=1f\left(0\right)=1 équivaut successivement à :
    ke5×0+4=1ke^{5\times 0}+4=1
    ke0+4=1ke^{0}+4=1 or e0=1e^{0}=1
    k+4=1k+4=1
    k=1−4k=1-4
    D'où : k=−3k=-3
    Il en résulte que la solution de l'équation différentielle y′=5y−20y'=5y-20 tel que f(0)=1f\left(0\right)=1 est alors :
    f(x)=−3e5x+4f\left(x\right)=-3e^{5x}+4

    Question 2

    Résoudre l'équation différentielle suivante : y′=4y+12y'=4y+12 tel que f(2)=−2f\left(2\right)=-2

    Correction
    Soit l’équation différentielle y′=ay+by'=ay+b où aa et bb sont deux réels, avec a≠0a\ne 0 , et où yy est une fonction de la variable xx définie et dérivable sur R\mathbb{R}.
  • Les solutions de cette équation sont les fonctions de la forme : f(x)=keax−baf\left(x\right)=ke^{ax} -\frac{b}{a} où kk est une constante réelle.
  • La fonction f0(x)=−baf_0\left(x\right)=-\frac{b}{a} est appeleˊe solution particulieˋre constante\text{\red{appelée solution particulière constante}} de l'équation différentielle.
    • On identifie ici que : a=4a=4 et b=12b=12.
    Il en résulte que les solutions de l'équation sont alors : f(x)=ke4x−124f\left(x\right)=ke^{4x} -\frac{12}{4} où kk est une constante réelle.
    Finalement : f(x)=ke4x−3f\left(x\right)=ke^{4x}-3 où kk est une constante réelle
    Or on sait que f(2)=−2f\left(2\right)=-2 , il vient alors que :
    f(2)=−2f\left(2\right)=-2 équivaut successivement à :
    ke4×2−3=−2ke^{4\times 2}-3=-2
    ke8=−2+3ke^{8}=-2+3
    ke8=1ke^{8}=1
    k=1e8k=\frac{1}{e^{8}}
    • e−a=1eae^{-a} =\frac{1}{e^{a} }
    D'où : k=e−8k=e^{-8}
    Il en résulte que la solution de l'équation différentielle y′=4y+12y'=4y+12 tel que f(2)=−2f\left(2\right)=-2 est alors :
    f(x)=e−8×e4x−3f\left(x\right)=e^{-8}\times e^{4x}-3 que l'on peut écrire :
    • eaeb=ea+be^{a} e^{b} =e^{a+b}
    f(x)=e4x−8−3f\left(x\right)=e^{4x-8}-3

    Question 3

    Résoudre l'équation différentielle suivante : y′=−2y+14y'=-2y+14 tel que f(1)=10f\left(1\right)=10

    Correction
    Soit l’équation différentielle y′=ay+by'=ay+b où aa et bb sont deux réels, avec a≠0a\ne 0 , et où yy est une fonction de la variable xx définie et dérivable sur R\mathbb{R}.
  • Les solutions de cette équation sont les fonctions de la forme : f(x)=keax−baf\left(x\right)=ke^{ax} -\frac{b}{a} où kk est une constante réelle.
  • La fonction f0(x)=−baf_0\left(x\right)=-\frac{b}{a} est appeleˊe solution particulieˋre constante\text{\red{appelée solution particulière constante}} de l'équation différentielle.
    • On identifie ici que : a=−2a=-2 et b=14b=14.
    Il en résulte que les solutions de l'équation sont alors : f(x)=ke−2x−14(−2)f\left(x\right)=ke^{-2x} -\frac{14}{\left(-2\right)} où kk est une constante réelle.
    Finalement : f(x)=ke−2x+7f\left(x\right)=ke^{-2x}+7 où kk est une constante réelle
    Or on sait que f(1)=10f\left(1\right)=10 , il vient alors que :
    f(1)=10f\left(1\right)=10 équivaut successivement à :
    ke−2×1+7=10ke^{-2\times 1}+7=10
    ke−2=10−7ke^{-2}=10-7
    ke−2=3ke^{-2}=3
    k=3e−2k=\frac{3}{e^{-2}}
    • e−a=1eae^{-a} =\frac{1}{e^{a} }
    D'où : k=3e2k=3e^{2}
    Il en résulte que la solution de l'équation différentielle y′=−2y+14y'=-2y+14 tel que f(1)=10f\left(1\right)=10 est alors :
    f(x)=3e2×e−2x+7f\left(x\right)=3e^{2}\times e^{-2x}+7 que l'on peut écrire :
    • eaeb=ea+be^{a} e^{b} =e^{a+b}
    f(x)=3e−2x+2+7f\left(x\right)=3e^{-2x+2}+7